《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

6. 如图，已知数轴上点 $ A $ 表示的数为 8，$ B $ 是数轴上位于 $ A $ 点左侧一点，且 $ AB = 14 $。动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 $ t $ 秒。
1. 写出数轴上点 $ B $ 表示的数-6，点 $ P $ 表示的数8 - 5t(用含 $ t $ 的式子表示)。
2. 动点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以每秒 3 个单位长度的速度向左匀速运动，若点 $ P $，$ Q $ 同时出发，问点 $ P $ 运动多少秒时，$ BQ = BP $ 成立？
3. 在(2)中 $ P $，$ Q $ 两点运动的过程中，若 $ M $ 为 $ AP $ 的中点，在 $ P $ 点运动的过程中，$\frac{QP + QA}{QM}$ 的值在某一个时间段 $ t $ 内为定值。求出这个定值，并直接写出 $ t $ 在哪一个时间段内。

答案： 6.
(1)$-6$ $8 - 5t$
(2)$BQ = 3t$,$BP=\vert8 - 5t-(-6)\vert=\vert14 - 5t\vert$,由$3t=\vert14 - 5t\vert$得$t=\frac{7}{4}$或7.
(3)运动$t$秒后,$P$点对应的数为$8 - 5t$,$Q$点对应数为$-6 - 3t$,$M$点对应数为$\frac{8 + 8 - 5t}{2}=8-\frac{5}{2}t$,$QP=\vert8 - 5t-(-6 - 3t)\vert=\vert14 - 2t\vert$,$QA = 14 + 3t$,$QM = 14+\frac{t}{2}$.
当$0\leq t\leq7$时,$QP = 14 - 2t$,$\frac{QP + QA}{QM}=\frac{14 - 2t + 14 + 3t}{14+\frac{t}{2}}=2$,为定值;
当$t\geq7$时,$QP = 2t - 14$,$\frac{QP + QA}{QM}=\frac{2t - 14 + 14 + 3t}{14+\frac{t}{2}}=\frac{5t}{14+\frac{t}{2}}$,不为定值.

7. 一个动点从数轴的原点出发，连续不断地一左一右来回跳动(第一次向左跳)，跳动的距离依次为 $\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，…
1. 如果 $ n $ 是正整数，那么第 $ n $ 次跳动的距离是$\frac{n}{n + 1}$；
2. 第 5 次跳动的落点位置所对应的有理数是$-\frac{37}{60}$；
3. 第 100 次跳动后所处位置在原点的右侧；
4. 会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧？会不会有某次跳动正好回到原点？为什么？
(《时代学习报》数学文化节试题)

答案： 7.
(1)$\frac{n}{n + 1}$
(2)$-\frac{37}{60}$
(3)右
(4)都不会.求和:$-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{4}{5}-\frac{5}{6}+·s+(-1)^n\frac{n}{n + 1}$.
当$n$为奇数时,原式$=-\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}-\frac{3}{4})+(\frac{4}{5}-\frac{5}{6})+·s＜0$;
当$n$为偶数时,原式$=(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3})+(-\frac{3}{4}+\frac{4}{5})+(-\frac{5}{6}+\frac{6}{7})+·s=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{6×7}+·s＞0$.
由此可知,从第二项起,每增加一个加数,和的符号都会改变.故不会出现相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧,也不会有某次跳动正好回到原点.