《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
已知，x = $\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} + \frac{|abc|}{abc}$，且 abc≠0，求 x 的所有可能的值。
 

答案： 例5. 涉及多个字母时，要通盘考虑各个字母取值的所有情形：
(1)当 a，b，c 同为正数时，即 a＞0，b＞0，c＞0，原式=$\frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} + \frac{abc}{abc}=4$；
(2)当 a，b，c 同为负数时，即 a＜0，b＜0，c＜0，原式=$\frac{-a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} + \frac{-abc}{abc}=-4$；
(3)当 a，b，c 中有一正数、两负数时，不妨设 a＞0，b＜0，c＜0，原式=$\frac{a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} + \frac{abc}{abc}=0$；
(4)当 a，b，c 中有一负数、两正数时，不妨设 a＜0，b＞0，c＞0，原式=$\frac{-a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} + \frac{-abc}{abc}=0$。综上知：x 的所有可能的值为 4，0 或 -4。

例 6
化简|x + 1| + |x - 2|。
 

答案：
例6. 解含多个绝对值问题时，常用零点分段讨论法。令 x + 1 = 0 和 x - 2 = 0，得 x = -1，2（称 -1，2 分别为|x + 1|与|x - 2|的零点值）。如图，在数轴上，零点值 x = -1 和 x = 2 将全体有理数分成不重复且不遗漏的 3 部分：当 x ＜ -1 时，x + 1 ＜ 0，x - 2 ＜ 0，原式=-(x + 1) - (x - 2)= -x - 1 - x + 2 = -2x + 1；当 -1≤x ＜ 2 时，x + 1≥0，x - 2 ＜ 0，原式=(x + 1) - (x - 2)=x + 1 - x + 2 = 3；当 x≥2 时，x + 1 ＞ 0，x - 2≥0，原式=(x + 1) + (x - 2)=x + 1 + x - 2 = 2x - 1。综上知，原式=$\begin{cases}-2x + 1 & (x ＜ -1) \\ 3 & (-1≤x ＜ 2) \\ 2x - 1 & (x≥2)\end{cases}$