《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
如图，$\angle AOB = 60^{\circ}$，射线 $OP$ 从 $OA$ 开始绕点 $O$ 以每秒 $10^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，同时射线 $OQ$ 从 $OB$ 开始绕点 $O$ 以每秒 $6^{\circ}$ 的速度逆时针旋转。设运动时间为 $t$ 秒$(0 \leq t \leq 36)$。
（1）$t$ 为何值时，$OP$ 与 $OQ$ 重合？

（2）$t$ 为何值时，$\angle POQ = 40^{\circ}$？
（3）$\angle AOC = 50^{\circ}$，$OM$ 平分$\angle AOP$，若$\angle COM = 20^{\circ}$，直接写出 $t$ 的值。
 

答案： （1）由题意得：$\angle AOP = 10t^{\circ}$，$\angle BOQ = 6t^{\circ}$。
当 $OP$，$OQ$ 重合时，$\angle AOP = \angle AOB + \angle BOQ$，
即 $10t = 60 + 6t$，
解得 $t = 15$。
（2）当 $OP$，$OQ$ 重合前：
$\angle AOP - \angle POQ = \angle AOB + \angle BOQ$，
即 $10t - 40 = 60 + 6t$ 的误写（应为$\angle AOP - \angle AOB+ \angle POQ =\angle BOQ$，即$10t-60+40=6t$），
按正确思路计算：
$10t - 60 + 40 = 6t$，
$4t = 20$，
$t = 5$；
当 $OP$，$OQ$ 重合后：
$\angle AOP - \angle AOB = \angle POQ + \angle BOQ$，
即 $10t - 60 = 40 + 6t$，
$4t = 100$，
$t = 25$。
（3）当 $0 \leq t \leq 18$ 时，无解；
当 $18 \lt t \leq 24$ 时：
$\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOP = \frac{1}{2}(360^{\circ} - 10t^{\circ}) = 180^{\circ} - 5t^{\circ}$，
由 $\angle AOM - \angle AOC = \angle COM$，
得 $180 - 5t - 50 = 20$，
$130 - 5t = 20$，
$5t = 110$，
$t = 22$；
当 $24 \lt t \leq 36$ 时：
由 $\angle AOC - \angle AOM = \angle COM$，
得 $50 - (180 - 5t) = 20$，
$50 - 180 + 5t = 20$，
$5t = 150$，
$t = 30$。
综上，$t$ 的值为 $22$ 或 $30$。