《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 3
如图，在平面直角坐标系中，已知$A(-2,4)$，$B(6,2)$，直线$AB$交$x$轴于点$C$。
(1)求点$C$的坐标；
(2)在$x$轴上有点$M$，使得$S_{\triangle ABM} = 20$，求点$M$的坐标。
 

 

答案：
(1)过点$A$作$AD\perp x$轴于点$D$，过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$。
$\because A(-2,4)$，$B(6,2)$，
$\therefore D(-2,0)$，$E(6,0)$，$AD=4$，$BE=2$，$DE=6 - (-2)=8$。
设点$C$坐标为$(c,0)$，则$DC=c - (-2)=c + 2$，$EC=c - 6$。
$\because S_{\triangle ADC}=S_{梯形ADEB}+S_{\triangle BEC}$，
$\therefore \frac{1}{2}× AD× DC=\frac{1}{2}×(AD + BE)× DE+\frac{1}{2}× BE× EC$，
即$\frac{1}{2}×4×(c + 2)=\frac{1}{2}×(4 + 2)×8+\frac{1}{2}×2×(c - 6)$，
解得$c=14$，$\therefore$点$C$坐标为$(14,0)$。
(2)设点$M$坐标为$(x,0)$。
①当$M$在点$C$右侧（$x＞14$）时：
$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}-S_{\triangle BCM}$，
$\therefore 20=\frac{1}{2}×4×(x - 14)-\frac{1}{2}×2×(x - 14)$，
化简得$(2 - 1)(x - 14)=20$，解得$x=34$，$\therefore M(34,0)$。
②当$M$在点$C$左侧（$x＜14$）时：
$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}-S_{\triangle BCM}$，
$\therefore 20=\frac{1}{2}×4×(14 - x)-\frac{1}{2}×2×(14 - x)$，
化简得$(2 - 1)(14 - x)=20$，解得$x=-6$，$\therefore M(-6,0)$。
综上，点$M$的坐标为$(34,0)$或$(-6,0)$。
(1)$(14,0)$；
(2)$(34,0)$或$(-6,0)$