《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

3. 已知正整数 $ n = abc ＜ 10000 $，$ a,b,c $ 均为质数，且 $ 2a + 3b = c $，$ 4a + c + 1 = 4b $，那么 $ n $ 的值为1118.
(全国初中数学联赛题)

答案： 3.1118 $b = 6a + 1$，$c = 20a + 3$，由$a(6a + 1)(20a + 3) ＜ 10000$得$12a^3 ＜ 1000$，$a ＜ 5$，$a = 2$，$b = 13$，$c = 43$.

4. 设 $ s = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + ·s + \frac{1}{2011^3} $，则 $ 4s $ 的整数部分是(A).

A.4
B.5
C.6
D.7
 

答案： 4.A $\because \frac{1}{k^3} ＜ \frac{1}{k(k^2 - 1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(k - 1)k} - \frac{1}{k(k + 1)} \right]$，
$\therefore 1 ＜ s = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + ·s + \frac{1}{2011^3} ＜ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 × 2} - \frac{1}{2011 × 2012} \right) ＜ \frac{5}{4}$，
$\therefore 4 ＜ 4s ＜ 5$.

5. 设正整数 $ n $ 可表示为四个不同正整数的倒数之和，则这样的 $ n $ 有(B)个.

A.1
B.2
C.3
D.4
 

答案： 5.B 设$n = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$，且$a ＜ b ＜ c ＜ d$，$a,b,c,d$为正整数，若$a \geqslant 3$，则$b \geqslant 4$，$c \geqslant 5$，$d \geqslant 6$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \leqslant \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20} ＜ 1$，
$\therefore a = 1$或$2$.当$a = 1$时，$1 ＜ n \leqslant 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} ＜ 3$，于是$n = 2$，而$2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$，当$a = 2$时，
$n \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{77}{60} ＜ 2$，于是$n = 1$，而$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$.综上，满足条件的$n$有$2$个.

6. 某班同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人收集 17 个，乙组同学平均每人收集 20 个，丙组同学平均每人收集 21 个. 若这三个小组共收集了 233 个废旧电池，则这三个小组共有学生(A)人.

A.12
B.13
C.14
D.15
 

答案： 6.A 设甲、乙、丙三个小组的人数分别为$x$，$y$，$z$，则
$17x + 20y + 21z = 233$，因为$233 = 17x + 20y + 21z ＞ 17(x + y + z)$，所以$x + y + z ＜ \frac{233}{17} = 13\frac{12}{17}$，又因为
$233 = 17x + 20y + 21z ＜ 21(x + y + z)$，所以$x + y + z ＞ \frac{233}{21} = 11\frac{2}{21}$，于是$11\frac{2}{21} ＜ x + y + z ＜ 13\frac{12}{17}$，得$x + y + z = 12$或$x + y + z = 13$.
当$x + y + z = 13$时，由$\begin{cases} x + y + z = 13, \\ 17x + 20y + 21z = 233, \end{cases}$
得$3y + 4z = 12$，此方程无正整数解.
故$x + y + z = 12$.

7. 求 $ \overline{x5} · \overline{3yz} = 7850 $ 中的数字 $ x,y,z $.
(俄罗斯竞赛题)

答案： 7.因$300 \leqslant 3yz ＜ 400$，故$\frac{7850}{400} ＜ x5 \leqslant \frac{7850}{300}$，$19 ＜ \bar{x}5 ＜ 27$，即$19 ＜ 10x + 5 ＜ 27$，$x$的正整数解为$x = 2$，而
$\frac{3yz}{} = \frac{7850}{25} = 314$，所以$y = 1$，$z = 4$.

8. 请回答：$ \frac{1}{8} $ 能否表示为 3 个互异的正整数的倒数和？$ \frac{1}{8} $ 能否表示为 3 个互异的完全平方数的倒数和？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

答案： 8.$\frac{1}{8} = \frac{1}{4} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4} × \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{16}$；
不妨设三个正整数$a ＜ b ＜ c$，满足$\frac{1}{8} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$，
由$\frac{1}{c^2} ＜ \frac{1}{b^2} ＜ \frac{1}{a^2}$，得$\frac{1}{a^2} ＜ \frac{3}{8}$，
$8 ＜ a^2 ＜ 24$，故$a^2 = 9$或$16$.
若$a^2 = 9$，则$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$，由$\frac{1}{b^2} ＜ \frac{2}{72}$，
得$72 ＜ b^2 ＜ 144$，故$b^2 = 81,100$或$121$.
将$b^2 = 81,100,121$分别代入$c^2 = \frac{72b^2}{b^2 - 72}$，没有一个
是完全平方数，此时无解.
若$a^2 = 16$，则$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$，同上讨论得$16 ＜b^2 ＜ 32$，所以$b^2 = 25$，
$c^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 16} = \frac{16 × 25}{9}$，不是整数.故$\frac{1}{8}$不能表示为
$3$个互异的完全平方数的倒数和.