《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

11. 如图①，已知 $ AB // CD $，点 P 是直线 AB，CD 之间的一动点.
(1)求证：$ \angle A + \angle APC + \angle C = 360° $；
(2)如图②，若 PQ 平分 $ \angle APC $，CQ 平分 $ \angle PCD $，则 $ \angle A = 2\angle PQC $；
(3)如图③，若 $ \angle A = 144° $，$ \angle QPC = 3\angle APQ $，$ \angle QCP = 3\angle QCD $，请直接写出 $ \angle PQC $ 的度数.

答案：
11.
(1)略
(2)如图，过点Q作MN//PC,
　　　　　　　
　设∠APQ = ∠QPC = x，∠PCQ = ∠QCD = y，则∠MQP = ∠QPC = x，∠NQC = ∠QCP = y，
∴ ∠PQC = 180° - x - y.
　由
(1)知∠A = 360° - ∠APC - ∠PCD = 360° - 2x - 2y，
∴ ∠A = 2(180° - x - y) = 2∠PQC.
(3)∠PQC = 18°.

12. 已知直线 $ AB // CD $.
(1)如图①，若 GN 平分 $ \angle CNE $，FM 平分 $ \angle AMG $，点 F，M，E 在同一直线上，$ \angle G + \frac{1}{2}\angle E = 60° $，求 $ \angle AMG $ 的度数；
(2)如图②，若直线 BM 平分 $ \angle ABE $，直线 DN 平分 $ \angle CDE $，直线 BM，DN 相交于点 F，求 $ \angle F : \angle E $ 的值.

答案： 12.
(1)作GS//AB,ET//AB,则GS//AB//ET//CD,设∠CNG = ∠GNE = x，∠FMA = ∠FMG = y，则∠E = y + 180° - 2x，∠G = x - 2y，
∴$ x - 2y + \frac{1}{2}(y + 180° - 2x) = 60°，$解得y = 20°，
∴ ∠AMG = 2y = 40°.
(2)类似于
(1)，可得$\frac{∠F}{∠E} = \frac{1}{2}.$