《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 【新知理解】
如图①，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，图中共有三条线段 $ AB $，$ AC $ 和 $ BC $，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的 $ 2 $ 倍，则称点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的“巧点”.
(1) 线段的中点是这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”)；
(2) 若 $ AB = 12 cm $，点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的“巧点”，则 $ AC = $8或6或4 $ cm $；
【解决问题】
(3) 如图②，已知 $ AB = 12 cm $.动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以 $ 2 cm/s $ 的速度沿 $ AB $ 向点 $ B $ 匀速移动；点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以 $ 1 cm/s $ 的速度沿 $ BA $ 向点 $ A $ 匀速移动.点 $ P $，$ Q $ 同时出发，当其中一个点到达终点时，运动停止，设移动的时间为 $ t(s) $.当 $ t $ 为何值时，$ A $，$ P $，$ Q $ 三点中，其中一点恰好是以另两点为端点的线段的“巧点”？说明理由.

答案：
10.
(1)是.
(2)8或6或4.
(3)共有5种情况.如图:

①当$AP=\frac{1}{2}PQ$时，$2t=\frac{1}{2}(12 - 2t - t)$，解得$t=\frac{12}{7}$.
②当$AP=\frac{1}{2}AQ$时，$2t=\frac{1}{2}(12 - t)$，解得$t=\frac{12}{5}$.
③当$PQ=\frac{1}{2}AP$时，$t = 12 - 2t - t$，解得$t = 3$.
④当$AQ = 2PQ$（$P$在$Q$右边）时，$12 - t = 2[t - (12 - 2t)]$，解得$t=\frac{36}{7}$.
⑤当$AP = 2AQ$时，$2t = 2(12 - t)$，解得$t = 6$.

11. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴可以发现：若数轴上点 $ A $、点 $ B $ 表示的数分别为 $ a $、$ b $，则 $ A $，$ B $ 两点之间的距离 $ AB = |a - b| $，线段 $ AB $ 的中点表示的数为 $ \frac{a + b}{2} $.如图，数轴上点 $ A $ 表示的数为 $ -2 $，点 $ B $ 表示的数为 $ 8 $，则 $ A $，$ B $ 两点间的距离 $ AB = | - 2 - 8| = 10 $，线段 $ AB $ 的中点 $ C $ 表示的数为 $ \frac{-2 + 8}{2} = 3 $，点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为 $ t $ 秒 $ (t ＞ 0) $.
(1) 用含 $ t $ 的代数式表示：$ t $ 秒后，点 $ P $ 表示的数为$-2 + 3t$，点 $ Q $ 表示的数为$8 - 2t$.
(2) 求当 $ t $ 为何值时，$ P $，$ Q $ 两点相遇，并写出相遇点所表示的数.
(3) 求当 $ t $ 为何值时，$ PQ = \frac{1}{2}AB $.
(4) 若点 $ M $ 为 $ PA $ 的中点，点 $ N $ 为 $ PB $ 的中点，点 $ P $ 在运动过程中，线段 $ MN $ 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 $ MN $ 的长.

答案： 11.
(1)$-2 + 3t$ $8 - 2t$
(2)$t = 2$时，点$P$，$Q$相遇，相遇点表示的数为4.
(3)$PQ = |(-2 + 3t)-(8 - 2t)| = |5t - 10|=\frac{1}{2}×10$，解得$t = 1$或$t = 3$.
(4)点$P$在运动过程中，线段$MN$的长度不变，理由如下:
$\because$点$M$，$N$表示的数分别为$\frac{-2 + (-2 + 3t)}{2}=\frac{3t}{2}-2$，$\frac{8 + (-2 + 3t)}{2}=\frac{3t}{2}+3$，
$\therefore MN = |(\frac{3t}{2}-2)-(\frac{3t}{2}+3)| = 5$.