《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 【阅读理解】
我们知道，$1 + 2 + 3 + ·s + n = \frac{n(n + 1)}{2}$，那么 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ·s + n^{2}$ 的结果等于多少呢？
在如图①所示三角形数阵中，第一行圆圈中的数为 1，即 $1^{2}$；第二行两个圆圈中数的和为 $2 + 2$，即 $2^{2}$；…；第 $n$ 行 $n$ 个圆圈中数的和为 $\underbrace{n + n + ·s + n}_{n 个 n}$，即 $n^{2}$。这样，该三角形数阵中共有 $\frac{n(n + 1)}{2}$ 个圆圈，所有圆圈中数的和为 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ·s + n^{2}$。
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数[如第 $(n - 1)$ 行的第一个圆圈中的数分别为 $n - 1$，2，$n$]，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为$2n + 1$，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为 $3(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ·s + n^{2}) = $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}$，因此 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ·s + n^{2} = $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$。
【解决问题】
根据以上发现，计算：$\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ·s + 2017^{2}}{1 + 2 + 3 + ·s + 2017}$ 的结果为$1345$。
(安徽省中考题)

答案： 10.$2n + 1$ $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}$ $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ $1345$