《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 1
已知$n$个数$x_{1}$，$x_{2}$，$·s$，$x_{n}$，每个数只能取$0$，$1$，$-1$中的一个，若$x_{1}+x_{2}+·s +x_{n}=2016$，则$x_{1}^{2019}+x_{2}^{2019}+·s +x_{n}^{2019}$的值为.
 

答案： $\boxed{2016}$

例 2
观察下列三行数：
$-2$，$4$，$-8$，$16$，$-32$，$64$，$·s$ ①
$0$，$6$，$-6$，$18$，$-30$，$66$，$·s$ ②
$1$，$-2$，$4$，$-8$，$16$，$-32$，$·s$ ③
设$x$，$y$，$z$分别为第①，②，③行的第$2001$个数，则$2x - y + 2z$的值为().
 

A.$2^{2001}$
B.$-2$
C.$0$
D.$2$

答案： B

例 3
日取其半
“判天地之美，析万物之理”，这出自《庄子·天下篇》.在中国古代圣贤中，庄子是独特的，且富于想象力的一位.
《庄子·天下篇》写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完.
请计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+·s +\frac{1}{2^{n}}$.
 

答案： 设 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ·s + \frac{1}{2^n}$，
则 $2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ·s + \frac{1}{2^{n-1}}$，
两式相减得：
$2S - S = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ·s + \frac{1}{2^{n-1}}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ·s + \frac{1}{2^n}\right)$，
即：
$S = 1 - \frac{1}{2^n}$，
因此：
$S = \frac{2^n - 1}{2^n}$。
最终答案为：
$1 - \frac{1}{2^n} = \frac{2^n - 1}{2^n}$。