《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

12. 如图，在数轴上 A，B 两点对应的数分别为 -40，20，数轴上一点 P 对应的数为 x。
(1)点 P 在 A，B 两点之间，则点 P 到 A，B 两点的距离和为60。
(2)如图，数轴上一点 Q 在点 P 的右侧，且与点 P 始终保持 15 个单位长度。当 x 满足什么条件时，点 A 与点 P 的距离、点 B 与点 Q 的距离的和为 45？
(3)结合对前面问题的思考，请判断 y 满足什么条件时，(|x + 40| + |x - 20|)(|y| + |y - 15|)≤900 成立，并说明理由。

答案： 12.
(1)60
(2)AP=|x-(-40)|=|x+40|，BQ=|x+15-20|=|x-5|，由条件得|x+40|+|x-5|=45．
当x＜-40时，得x=-40，舍去；
当-40≤x≤5时，等式恒成立；
当x＞5时，得x=5，舍去．
故当-40≤x≤5时满足条件．
(3)由前面讨论得|x+40|+|x-20|≥60，|y|+|y-15|≥15．
∴(|x+40|+|x-20|)(|y|+|y-15|)≥900，
又
∵(|x+40|+|x-20|)(|y|+|y-15|)≤900，
∴(|x+40|+|x-20|)(|y|+|y-15|)=900，
∴|x+40|+|x-20|=60，|y|+|y-15|=15，
得0≤y≤15．

13. 有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 x₁，只显示不运算，接着输入整数 x₂ 后则显示|x₁ - x₂|的结果。比如，依次输入 1，2，则输出的结果是|1 - 2| = 1；此后，每输入一个整数，都是进行与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算。
(1)若小明依次输入 1，2，3，4，则最后输出的结果是多少？
(2)若将 1，2，3，4 这 4 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？
(3)若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为 k，k 的最大值为 10，求 k 的最小值。

答案： 13.
(1)根据题意可以得出：|1-2|=|-1|=1，|1-3|=|-2|=2，|2-4|=|-2|=2．
(2)对于1，2，3，4，按如下次序||||1-3|-4|-2|=0，||||1-3|-2|-4|=4．
故全部输入完毕后显示的结果的最大值是4，最小值是0．
(3)由题意，设b为较大数字，当a=1时，|b-|a-2||=|b-1|=10，解得b=11，故此时任意输入后得到的最小数为：|2-|11-1||=8；当b＞a＞2时，|b-|a-2||=|b-a+2|=10，则b-a+2=10，即b-a=8，则a-b=-8，故此时任意输入后得到的最小数为：|a-|b-2||=|a-b+2|=6．
综上所述:k的最小值为6．