《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

7. 完美长方形 若一个长方形能分割成若干个大小不同的正方形，则说这个长方形是完美长方形。如图所示，1925 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成 10 个大小不同的正方形。如果图中标注的正方形①和②的边长分别为 $x$，$y$，求其他 8 个正方形的边长。

答案： 7.③的边长为①②边长之和：$x + y$；⑨的边长为③②边长之和：$y + (x + y) = x + 2y$；⑧的边长为⑨②边长之和：$y + (x + 2y) = x + 3y$；⑦的边长为⑧的边长加上②与①边长之差：$(x + 3y) + (y - x) = 4y$；⑥的边长为⑦的边长减去①边长：$4y - x$；④的边长为⑥的边长减去①与③边长之和：$(4y - x) - (x + x + y) = 3y - 3x$；⑤的边长为⑥④边长之和：$(4y - x) + (3y - 3x) = 7y - 4x$；⑩的边长为⑤④边长之和：$(7y - 4x) + (3y - 3x) = 10y - 7x$.

8. 有 1 张纸，第 1 次把它分割成 4 片，第 2 次把其中的 1 片分割成 4 片，以后每 1 次都把前面所得的其中 1 片分割成 4 片，如此进行下去，试问：
(1) 经 5 次分割后，共得到多少张纸片？
(2) 经 $n$ 次分割后，共得到多少张纸片？
(3) 能否经若干次分割后共得到 2003 张纸片？为什么？
(江苏省竞赛题)

答案： 8.
(1)经5次分割后，共得到$1 + 3 × 5 = 16$张纸片。
(2)经$n$次分割后，共得到$(1 + 3n)$张纸片。
(3)若能分得2003张纸片，则$1 + 3n = 2003$，$3n = 2002$，无整数解，故不可能经若干次分割后得到2003张纸片。

9. 规律求和 作为数学研究对象的形与数，二者通常相互关联。
如图所示，从左下角开始逐层观察，第 1 层有 1 个阴影正方形，第 2 层有 3 个空白正方形，第 3 层有 5 个阴影正方形……由此可知：
(1) 从 1 开始，$n$ 个连续的奇数之和等于$n^{2}$；
(2) 从 2 开始，$n$ 个连续的偶数之和等于$n^{2} + n$；
(3) 对于代数式 $\frac{3n - 1}{2}$，当 $n$ 依次取最小的 100 个正整数时，求该代数式的 100 个值之和。
(《时代学习报》数学文化节试题)

答案： 9.
(1)$n^{2}$
(2)在图中每一层下加一格，即得$n^{2} + n$；
(3)由$\frac{3n - 1}{2} = \frac{3}{4}(2n - 1) + \frac{1}{4}$，可利用
(1)的结论，求得该代数式的$n$个值之和等于$\frac{3}{4}n^{2} + \frac{1}{4}n$.也可由$\frac{3n - 1}{2} = \frac{3}{4} × 2n - \frac{1}{2}$，利用
(2)的结论，求得该代数式的$n$个值之和等于$\frac{3}{4}(n^{2} + n) - \frac{1}{2}n = \frac{3}{4}n^{2} + \frac{1}{4}n$.用100代入即得7525.