《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
计算：
(1) $(1\frac{5}{99} + 3\frac{5}{33} + 9\frac{5}{11})÷(1\frac{1}{99} + 3\frac{1}{33} + 9\frac{1}{11})$；
（“五羊杯”竞赛题）
(2) $(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) - (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})$；
（江苏省南京市中考题）
(3) $\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}) + ·s + (\frac{1}{60} + \frac{2}{60} + ·s + \frac{59}{60})$.
（广西壮族自治区竞赛题）
 

答案：
(1)
原式$=( \frac{104}{99} + \frac{104}{33} + \frac{104}{11}) ÷( \frac{100}{99} + \frac{100}{33} + \frac{100}{11})$
$=[104×( \frac{1}{99} + \frac{1}{33} + \frac{1}{11}) ]÷[100×( \frac{1}{99} + \frac{1}{33} + \frac{1}{11}) ]$
$= 104÷100$
$= 1.04$
(2)
设$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = a$，$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = b$，则$a + b = 1$，
原式$= a(b + \frac{1}{6}) - (a - \frac{1}{6})b$
$= ab + \frac{1}{6}a - ab + \frac{1}{6}b$
$ = \frac{1}{6}(a + b)$
$ = \frac{1}{6}$
(3)
设$S = \frac{1}{2} + ( \frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + ( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}) + ·s + ( \frac{1}{60} + \frac{2}{60} + ·s + \frac{59}{60})$ ①
则$S = \frac{1}{2} + ( \frac{2}{3} + \frac{1}{3}) + ( \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) + ·s + ( \frac{59}{60} + \frac{58}{60} + ·s + \frac{1}{60})$ ②
①$+$②得$2S = 1 + 2 + 3 + ·s + 59$
$2S=\frac{(1 + 59)×59}{2}=1770$
$S = 885$
综上，答案依次为：
(1)$1.04$；
(2)$\frac{1}{6}$；
(3)$885$。

例 5
在自然数 $1$，$2$，$3$，$·s$，$2010$ 前任意添加“+”“-”号并依次运算，求其非负代数和的最小值.
（《时代学习报》数学文化节试题）
 

答案： 答题卡作答：
设$1$到$n$的所有数任意添加“+”“ -”号后的代数和为$S$，$1 + 2+·s + n=\frac{n(n + 1)}{2}=m$。
若$m$为偶数，通过合理添加“+”“ -”号可以使$S = 0$，此时非负代数和的最小值为$0$。
因为$1+2+·s +n=\frac{n(n + 1)}{2}$为偶数，即$n(n + 1)$能被$4$整除，也就是$n\equiv0\pmod{4}$或$n\equiv3\pmod{4}$时，可以构造将相邻的$4$个数$k,(k + 1),(k + 2),(k+3)$进行如$k-(k + 1)-(k + 2)+(k + 3)=0$的运算，从而使得代数和为$0$。
若$m$为奇数，通过合理添加“+”“ -”号可以使$S = 1$，此时非负代数和的最小值为$1$。
因为$1+2+·s +n=\frac{n(n + 1)}{2}$为奇数，即$n(n + 1)$除以$4$余$2$，也就是$n\equiv1\pmod{4}$或$n\equiv2\pmod{4}$时，其奇偶性与$1+2+·s +n$相同为奇数，整数中最小的非负整数是$0$，但奇数不可能等于$0$，所以最小值为$1$，并且可以通过类似例$5$中的构造方法来实现。
综上，在$1$，$2$，$·s$，$n$前面添上正号和负号，其非负代数和有最小值。当$\frac{n(n + 1)}{2}$为偶数时，最小值为$0$；当$\frac{n(n + 1)}{2}$为奇数时，最小值为$1$。