《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

6. 英国数学家、逻辑学家道奇森在其童话名著《爱丽丝梦游仙境》中提出如下这个植树问题：10 棵树栽成 5 行，每行栽 4 棵，如何栽？

答案：
6.把树看作点，行抽象成线，问题的实质是探讨点与线的关系，画图、实验、调整，下列如图栽法仅供参考:

7. 平面上有 6 条直线，共有 12 个不同的交点，画出它们可能的位置关系（画 3 种图形）。
（江苏省竞赛题）

答案：
7.

8. 摄制组从 $ A $ 市到 $ B $ 市有一天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 $ C $ 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从 $ C $ 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：$ A,B $ 两市相距多少千米？
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

答案：
8.条件中只有路程，而没有给出时间与速度，故应集中注意各段路程之间的关系，借线段图分析.
　如图，设小镇为D，傍晚汽车在E处休息，则
　AD=$\frac{1}{2}$DC，EB=$\frac{1}{2}$CE，AD+EB=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×400=200(千米)，
　故AB=AD+DE+EB=200+400=600(千米).
　　　　　

9. （1）一条直线上的 $ n $ 个点能把直线分成几部分？
（2）同一平面内的 $ n $ 个点最多可以把平面分成几部分？
（3）$ n $ 个平面最多可以把空间分成几部分？

答案： 9.
(1)n+1
(2)$\frac{1}{2}$(n²+n+2)
(3)从简单情形，从关联中进行探究.
　分割元素的个数0 1 2 3 4 5 ……
　点分直线　　1 2 3 4 5 6 ……
　直线分平面　1 2 4 7 11 16 ……
　平面分空间　　1 2 4 8 15 26 ……
观察上表，我们发现表中第三行中的每个数恰好是同一行中左列的那个数(如果有的话)与该列上一行的那个数之和.这一结论对第四行中的每个数也是成立的.上面的规律具有递归的性质.因n个点(不同的点)可将直线分成(n+1)个部分，于是直线分平面所成部分数有下面的规律:
一条直线分一个平面的部分数为2=1+1;
两条直线最多分一个平面的部分数为4=2+2=1+1+2;
三条直线最多分一个平面的部分数为7=3+4=1+1+2+3;
四条直线最多分一个平面的部分数为11=4+7=1+1+2+3+4;
五条直线最多分一个平面的部分数为16=5+11=1+1+2+3+4+5;
n条直线最多分一个平面的部分数为:
1+1+2+3+4+...+n=1+$\frac{n(n+1)}{2}$.
同理可推得，n个平面最多能将一个三维空间分成的部分数为:
　1+1+[$\frac{2(2-1)}{2}$+1]+...+[$\frac{n(n-1)}{2}$+1]
=1+$\frac{1}{2}$(1²+2²+…+n²)-$\frac{1}{2}$(1+2+3+…+n)+(1+1+...+1)
=1+$\frac{n(n²+5)}{6}$.