《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 3
如图所示图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第 1 个图案需 7 根火柴，第 2 个图案需 13 根火柴……依此规律，第 11 个图案需多少根火柴？
(世界数学团体锦标赛试题)

 

答案： 第 $n$ 个图案需火柴根数为 $n(n + 3) + 3$（原解析表达式 $11×(11 + 3) + 3$ 中加 3 是修正还原移除的 3 根火柴，统一公式时需加上），当 $n = 11$ 时，$11×(11 + 3)+ 3 = 11×14 + 3 = 154 + 3 = 157$。
所以，第 11 个图案需 157 根火柴。

例 4
将一个正方形分割成 $n$ 个小正方形(并不要求小正方形的大小一致)，请问 $n$ 不能等于下列哪个数：5，6，7，8，9？
(国际中小学数学能力检测试题)
 

答案： 解答：
1. n=6,7,8,9的可行性：通过分割操作可知，正方形可分割为6个、7个、8个、9个小正方形（如图示方法）。
2. n=5的不可行性：假设可分割为5个小正方形，大小不一致，且大正方形每个顶点分属不同小正方形，设小正方形边长分别为$a,b,c,d,e$。
由大正方形边长相等：$a+b=a+d\Rightarrow b=d$；$b+c=a+b\Rightarrow a=c$。
中间横向总长$a+e+c$与纵向总长$b+e+d$相等，即$2a+e=2b+e\Rightarrow a=b$。
代入$a+e+c=a+b$，得$a+e+a=a+a\Rightarrow e=0$，矛盾。
故无法分割为5个小正方形。
结论：n不能等于5。
$\boxed{5}$