《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
如图，AB，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在 A，C 两点，点 E 是橡皮筋上一点，拖动 E 点，将橡皮筋拉紧后，请你探索 $ \angle A $，$ \angle C $，$ \angle AEC $ 之间具有怎样的关系? 并说明理由.

  

答案： 情况一：E在AB、CD之间（内折）
关系：$∠AEC = ∠A + ∠C$
证明：过点E作$EF // AB$，
$\because AB // CD$，$EF // AB$，$\therefore EF // CD$，
$\therefore ∠AEF = ∠A$（两直线平行，内错角相等），$∠CEF = ∠C$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠AEC = ∠AEF + ∠CEF = ∠A + ∠C$。
情况二：E在AB、CD之间（外折）
关系：$∠AEC + ∠A + ∠C = 360°$
证明：过点E作$EF // AB$，
$\because AB // CD$，$EF // AB$，$\therefore EF // CD$，
$\therefore ∠AEF + ∠A = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠CEF + ∠C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠AEC = ∠AEF + ∠CEF = (180° - ∠A) + (180° - ∠C)$，
$\therefore ∠AEC + ∠A + ∠C = 360°$。
情况三：E在AB、CD外侧（AB上方，CD上方）
关系：$∠AEC = ∠C - ∠A$
证明：过点E作$EF // AB$，
$\because AB // CD$，$EF // AB$，$\therefore EF // CD$，
$\therefore ∠AEF = ∠A$（两直线平行，内错角相等），$∠CEF = ∠C$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠AEC = ∠CEF - ∠AEF = ∠C - ∠A$。
情况四：E在AB、CD外侧（AB下方，CD下方）
关系：$∠AEC = ∠A - ∠C$
证明：过点E作$EF // AB$，
$\because AB // CD$，$EF // AB$，$\therefore EF // CD$，
$\therefore ∠AEF = ∠A$（两直线平行，内错角相等），$∠CEF = ∠C$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠AEC = ∠AEF - ∠CEF = ∠A - ∠C$。