《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 2
若正数 $a$，$b$，$c$ 满足不等式 $\begin{cases}\frac{11}{6}c ＜ a + b ＜ 2c, \\ \frac{3}{2}a ＜ b + c ＜ \frac{5}{3}a, \\ \frac{5}{2}b ＜ a + c ＜ \frac{11}{4}b,\end{cases}$ 则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为( ).
 

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.不确定

答案： B

例 3
解下列关于 $x$ 的不等式：
(1)$(2mx + 3) - n ＜ 3x$；
(2)$\vert x - 2\vert \leq 2x - 10$；
(3)$\vert x - 5\vert - \vert 2x + 3\vert ＜ 1$.
 

答案：
(1) 原不等式化为 $(2m - 3)x ＜ n - 3$。
当 $2m - 3 ＞ 0$，即 $m ＞ \frac{3}{2}$ 时，解集为 $x ＜ \frac{n - 3}{2m - 3}$；
当 $2m - 3 ＜ 0$，即 $m ＜ \frac{3}{2}$ 时，解集为 $x ＞ \frac{n - 3}{2m - 3}$；
当 $m = \frac{3}{2}$ 时，
若 $n ＞ 3$，解集为全体实数；
若 $n \leq 3$，无解。
(2) 当 $x - 2 \geq 0$，即 $x \geq 2$ 时，不等式化为 $x - 2 \leq 2x - 10$，解得 $x \geq 8$；
当 $x - 2 ＜ 0$，即 $x ＜ 2$ 时，不等式化为 $2 - x \leq 2x - 10$，无解；
综上，原不等式的解集为 $x \geq 8$。
(3) 令 $x - 5 = 0$ 或 $2x + 3 = 0$，得 $x = 5$ 或 $x = -\frac{3}{2}$。
分三种情况讨论：
① 当 $x ＜ -\frac{3}{2}$ 时，原不等式化为 $5 - x + 2x + 3 ＜ 1$，解得 $x ＜ -7$；
② 当 $-\frac{3}{2} \leq x ＜ 5$ 时，原不等式化为 $5 - x - 2x - 3 ＜ 1$，解得 $\frac{1}{3} ＜ x ＜ 5$；
③ 当 $x \geq 5$ 时，原不等式化为 $x - 5 - 2x - 3 ＜ 1$，解得 $x \geq 5$；
综上，原不等式的解集为 $x ＜ -7$ 或 $x ＞ \frac{1}{3}$。