《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

9. 健康生技公司培养绿藻以制作绿藻粉，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品. 已知该公司制作每 1 千克的绿藻粉需要 60 亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下面的问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
(1)假设在光照充沛的环境下，1 个绿藻细胞每 20 小时可分裂成 4 个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂. 现在从 1 个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过 15 天后，共分裂成 $ 4^k $ 个绿藻细胞，求 $ k $ 的值.
(2)在(1)的条件下，已知 60 亿介于 $ 2^{32} $ 与 $ 2^{33} $ 之间，请判断 $ 4^k $ 个绿藻细胞是否足够制作 8 千克的绿藻粉.

答案： 9.
(1)经过$24 × 15 = 20 × 18 = 360$(小时)，分裂成$4^{18}$个
绿藻细胞，得$k = 18$.
(2)$\because$制作$8$千克的绿藻粉需$(8 × 60 × 10^8)$个绿藻
细胞，
$\therefore 8 × 2^{32} ＜ 8 × 60 × 10^8 ＜ 8 × 2^{33}$，
即$2^{35} ＜ 8 × 60 × 10^8 ＜ 2^{36}$.
而$4^{18} = 2^{36}$，得$8 × 60 × 10^8 ＜ 4^{18}$.
$\therefore 4^{18}$个绿藻细胞足够制作$8$千克的绿藻粉.

10. 试求满足下列方程式的所有的正整数 $ a,b,c $：$ (1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b})(1 + \frac{1}{c}) = 2 $.
(青少年国际城市数学邀请赛试题)

答案： 10.不妨设$a \leqslant b \leqslant c$，那么$\left( 1 + \frac{1}{a} \right) \left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) \leqslant\left( 1 + \frac{1}{a} \right) \left( 1 + \frac{1}{a} \right) \left( 1 + \frac{1}{a} \right)$，
即$2 \leqslant \left( 1 + \frac{1}{a} \right)^3$，$a \leqslant 3$.
若$a = 1$，则$\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) = 1$，矛盾.
若$a = 2$，则$\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) = \frac{4}{3}$，
由$\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) \leqslant \left( 1 + \frac{1}{b} \right)^2$解得$b \leqslant 6$，
再由$\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) ＞ \left( 1 + \frac{1}{b} \right)$得$b \geqslant 4$，
即$4 \leqslant b \leqslant 6$.
当$b = 4$时，$c = 15$；
当$b = 5$时，$c = 9$；
当$b = 6$时，$c = 7$，均是符合题意的解.
若$a = 3$，则$\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) = \frac{3}{2}$，
由$\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) \leqslant \left( 1 + \frac{1}{b} \right)^2$解得$b \leqslant 4$.
当$b = 3$时，$c = 8$；
当$b = 4$时，$c = 5$，均是符合题意的解.
综上所述，原方程的所有正整数解为$(2,4,15)$(及其排列，共$6$组解)，$(2,5,9)$(及其排列，共$6$组解)，
$(2,6,7)$(及其排列，共$6$组解)，$(3,3,8)$(及其排列，
共$3$组解)以及$(3,4,5)$(及其排列，共$6$组解)，共有
$27$组解.