《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
周长为 30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（河南省竞赛题）
 

答案： 设三角形三边为$a,b,c$，且$a ＜ b ＜ c$，$a,b,c$为整数，周长$a+b+c=30$。
由三角形三边关系及$a ＜ b ＜ c$，得$\begin{cases}a + b = 30 - c \\ a + b ＞ c\end{cases}$，即$30 - c ＞ c$，解得$c ＜ 15$；又$a ＜ b ＜ c$，则$a + b + c ＜ 3c$，即$30 ＜ 3c$，解得$c ＞ 10$，故$10 ＜ c ＜ 15$，$c=11,12,13,14$。
当$c=11$时，$a + b=19$，$a ＜ b ＜ 11$，得$b=10$，$a=9$，三边：$9,10,11$（1个）；
当$c=12$时，$a + b=18$，$a ＜ b ＜ 12$，得$b=11,a=7$或$b=10,a=8$，三边：$7,11,12$；$8,10,12$（2个）；
当$c=13$时，$a + b=17$，$a ＜ b ＜ 13$，得$b=12,a=5$；$b=11,a=6$；$b=10,a=7$；$b=9,a=8$，三边：$5,12,13$；$6,11,13$；$7,10,13$；$8,9,13$（4个）；
当$c=14$时，$a + b=16$，$a ＜ b ＜ 14$，得$b=13,a=3$；$b=12,a=4$；$b=11,a=5$；$b=10,a=6$；$b=9,a=7$，三边：$3,13,14$；$4,12,14$；$5,11,14$；$6,10,14$；$7,9,14$（5个）。
综上，符合条件的三角形共有$1+2+4+5=12$个。
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例 5
如图①，已知$P$为$\triangle ABC$内一点。
求证：$AB + AC ＞ PB + PC$。
 
 

答案： 证明：
如图②，延长$BP$交$AC$于点$D$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形三边关系定理，有：
$AB + AD \gt BD$。
由于$BD = BP + PD$，所以：
$AB + AD \gt BP + PD$，①
在$\triangle PDC$中，同样根据三角形三边关系定理，有：
$PD + DC \gt PC$，②
将①和②两式相加，得到：
$AB + AD + PD + DC \gt BP + PD + PC$。
由于$AD + DC = AC$，所以：
$AB + AC \gt BP + PC$。
对于追问部分：
如图③，可以进一步证明：
$AB + AC \gt BP_1 + P_1P_2 + P_2C$。
如图④，一般的情况是，提出猜想并证明：
$AB + AC \gt BP_1 + P_1P_2 + P_2P_3 + ·s + P_nC$。
证明方法与上述类似，均是通过延长线段并应用三角形三边关系定理进行推导。