《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

4. 在图示的方格纸中，点 $A$，$B$，$C$ 都在方格纸的交点上，则$\angle ACB = (\ )$。

A.$120^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$165^{\circ}$
 

答案： 4.B　延长线段$AC$,运用割补法求解.

5. 从点 $O$ 出发有三条射线 $OA$，$OB$，$OC$，$\angle AOC = 2\angle AOB$，若$\angle AOB = 32^{\circ}$，则$\angle BOC = $$32^{\circ}$或$96^{\circ}$。

答案： 5.$32^{\circ}$或$96^{\circ}$

6. 如图，$\angle AOB$ 是钝角，$OC$，$OD$，$OE$ 是三条射线，若 $OC \perp OA$，$OD$ 平分$\angle AOB$，$OE$ 平分$\angle BOC$，那么$\angle DOE$ 的度数是$45^{\circ}$。
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

答案： 6.$45^{\circ}$ $\angle DOE = \frac{1}{2}\angle AOC$.

7. 如图，射线 $OC$，$OD$，$OE$，$OF$ 分别平分$\angle AOB$，$\angle COB$，$\angle AOC$，$\angle EOC$，若$\angle FOD = 24^{\circ}$，则$\angle AOB = $$64^{\circ}$。
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 7.$64^{\circ}$　设$\angle FOC = x^{\circ}$,则$\angle COD = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOC = \angle EOC = 2\angle FOC = 2x^{\circ}$,$\angle FOD = 3x^{\circ}$,$\angle AOB = 2\angle AOC = 4\angle COD = 8x^{\circ}$.

8. 某人在早晨 $6$ 时至 $7$ 时的某时刻开始晨练，$7$ 时至 $8$ 时的某时刻结束晨练，结果发现晨练结束时与晨练开始时，手表的时针与分针恰好交换位置，这个人共晨练$55\frac{5}{13}$分钟。
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 8.$55\frac{5}{13}$　设此人晨练了$x$分钟,则$6x + \frac{1}{2}x = 360$.

9. 已知$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 60^{\circ}$，$OE$ 平分$\angle AOC$，$OF$ 平分$\angle BOD$。
(1)如图①，当 $A$，$O$，$D$ 三点共线时，则$\angle EOF = $$75^{\circ}$；
(2)将$\angle COD$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转至如图②所示位置，$\angle COD$ 的两边 $OC$，$OD$ 都在$\angle AOB$ 的内部，求$\angle EOF$ 的度数；
(3)当$\angle COD$ 旋转至如图③所示位置，作$\angle EOF$ 的角平分线 $ON$，求$\angle EON$ 的度数。

答案：
9.
(1)$75^{\circ}$
(2)$75^{\circ}$
(3)如图,设$\angle EOD = x$,$\angle FOC = y$,则$\angle AOC = 2(x + 60^{\circ})$,$\angle BOF = 60^{\circ} + y$.由$2(x + 60^{\circ}) + y + (60^{\circ} + y) + 90^{\circ} = 360^{\circ}$得$x + y = 45^{\circ}$,$\therefore \angle EON = \frac{1}{2}\angle EOF = \frac{1}{2}(x + y + \angle DOC) = \frac{1}{2}(45^{\circ} + 60^{\circ}) = 52.5^{\circ}$.