《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5 当 $m = - 5$，$- 4$，$- 3$，$- 1$，$0$，$1$，$3$，$23$，$124$，$1000$ 时，从等式 $(2m + 1)x+(2 - 3m)y + 1 - 5m = 0$ 可以得到 $10$ 个关于 $x$ 和 $y$ 的二元一次方程，问：这 $10$ 个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解.
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
 

答案： 例 5答案：$\begin{cases}x = 1, \\ y = - 1\end{cases}$是对应的$10$个方程的公共解。

1. 若关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x - my = 5, \\ 2x + ny = 6\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 1, \\ y = 2,\end{cases}$ 则关于 $a$，$b$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3(a + b)-m(a - b)=5 \\ 2(a + b)+n(a - b)=6\end{cases}$ 的解为 ______ .
(山东省滨州市中考题)

答案： 1. $(a,b)=\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 由条件得$\begin{cases}a+b=1,\\a-b=2.\end{cases}$

2. 若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 3, \\ 2mx + 3y = 2\end{cases}$ 的解 $x$，$y$ 的和等于 $1$，则 $m=$ ______ .
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 2.1 由$\begin{cases}x+y=1,\\3x+4y=3\end{cases}$得$\begin{cases}x=1,\\y=0.\end{cases}$

3. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x - ay = 6, \\ 4x + y = 7\end{cases}$ 的解是整数，$a$ 是正整数，那么 $a$ 的值为 ______ .
(北京市“迎春杯”竞赛题)

答案： 3.2 $y=\frac{-5}{1+2a}$，$1+2a=\pm1,\pm5$，只有$a=2$符合条件，得$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$

4. 已知对任意的有理数 $a$，$b$，关于 $x$，$y$ 的二元一次方程 $(a - b)x-(a + b)y = a + b$ 有一组公共解，则公共解为.
(江苏省竞赛题)

答案： 4.$\begin{cases}x=0,\\y=-1.\end{cases}$