《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 2
澳尔文带了仅够买 30 只气球的钱去商店，到达商店后他发现气球正在促销，如果按原价买第 1 只气球，那么，买第 2 只可优惠原价的 $\frac{1}{3}$，则澳尔文最多能买(C)只气球.
A. 33
B. 34
C. 36
D. 38
E. 39
 

答案： 例2. C

例 3
有这样的两位数，交换该数个位与十位数字所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数.例如，29 就是这样的两位数，因为 $29+92=121=11^{2}$，请你找出所有这样的两位数.
（江苏省竞赛题）
 

答案： 例3. 有这样的两位数，交换该数个位与十位数字所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。设原数为 $\overline{ab}$，则新数为 $\overline{ba}$，
∵ $(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$，且为完全平方数，
∴ $a+b$ 是 11 的倍数，即 $a+b=11· k^{2}$，
∵ $a\leqslant9$，$b\leqslant9$，得 $a+b\leqslant18$，
∴ $k=1$，从而 $a+b=11$，推得这样的两位数有 8 个：29，38，47，56，65，74，83，92。

例 4
如图①，有 9 个方格，要求在每个方格里填入不同的数，角线上三个数之和都相等.问：图中左上角的数是多少?

答案： 1. 设图②中各数：
设左上角的数为$x$，其他方格内的数分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$。
根据对角线三个数之和相等，可得$x + x_3+13=x_2 + x_3+19$。
2. 求解$x$的值：
对$x + x_3+13=x_2 + x_3+19$进行化简。
方程两边同时减去$x_3$，得到$x + 13=x_2+19$。
再根据另一条对角线$x + x_1+x_2=x_1 + x_3+19$（这里也可利用其他对角线关系），由$x + 13=x_2+19$移项可得$x_2=x - 6$。
又因为$x+(x - 6)+x_4=(x - 6)+x_3+19$且$x + x_3+13=(x - 6)+x_3+19$（利用$x + x_3+13$与$(x - 6)+x_3+19$的关系）。
直接从$x + x_3+13=x_2 + x_3+19$（消去$x_3$），解得$x=16$。
所以，图中左上角的数是$16$。