《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

11. 已知非零自然数$a$，$b$，$c$，$d$都不超过 4，若其中有两个相同，并且$(a + b)(b + c)(c + d)(d + a) = 900$，求$a + b + c + d$的值.
（世界数学团体锦标赛试题）

答案： 11.
∵$1\leq a\leq4,1\leq b\leq4,1\leq c\leq4,1\leq d\leq4,$且a,b,c,d中有两个相同,
∴$2\leq a+b\leq8,2\leq b+c\leq8,2\leq c+d\leq8,2\leq d+a\leq8.$
而$900=2^2×3^2×5^2,$若必须写成四个不超过8的整数的乘积,则a+b,b+c,c+d,d+a这四个整数只能是5,5,6,6,不妨设$\begin{cases}a+b=5,\\b+c=5,\\c+d=6,\\d+a=6,\end{cases}$
则将四个等式左右两边分别相加得a+b+c+d=11.

12. 证明：若三位数$\overline{abc}$能被 27 整除，则$\overline{bca}$，$\overline{cab}$均能被 27 整除.
（爱尔兰数学竞赛题）

答案： 12. 若$27\mid\overline{abc},$则$3\mid(a+b+c).$
注意到,
$\overline{abc}-\overline{bca}=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)=9[3(4a-3b)-(a+b+c)]=27(4a-3b)-9(a+b+c).$
由$27\mid(\overline{abc}-\overline{bca})\Rightarrow27\mid\overline{bca}.$
类似的,由$27\mid\overline{bca}\Rightarrow27\mid\overline{cab}.$