《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
如图，已知 $ AB // CD $，$ \angle EAF = \frac{1}{4}\angle EAB $，$ \angle ECF = \frac{1}{4}\angle ECD $.
求证：$ \angle AFC = \frac{3}{4}\angle AEC $.
 
 

答案： 证明：过点E作EM//AB，过点F作FN//AB。
∵AB//CD，
∴EM//AB//CD，FN//AB//CD。
设∠EAF = x°，∠ECF = y°。
∵∠EAF = 1/4∠EAB，
∴∠EAB = 4x°，∠FAB = ∠EAB - ∠EAF = 3x°。
∵∠ECF = 1/4∠ECD，
∴∠ECD = 4y°，∠FCD = ∠ECD - ∠ECF = 3y°。
∵EM//AB，
∴∠AEM = ∠EAB = 4x°（两直线平行，内错角相等）。
∵EM//CD，
∴∠CEM = ∠ECD = 4y°（两直线平行，内错角相等）。
∴∠AEC = ∠AEM + ∠CEM = 4x° + 4y° = 4(x + y)°。
∵FN//AB，
∴∠AFN = ∠FAB = 3x°（两直线平行，内错角相等）。
∵FN//CD，
∴∠CFN = ∠FCD = 3y°（两直线平行，内错角相等）。
∴∠AFC = ∠AFN + ∠CFN = 3x° + 3y° = 3(x + y)°。
∴∠AFC = 3(x + y)° = 3/4 × 4(x + y)° = 3/4∠AEC。
即∠AFC = 3/4∠AEC。