《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

9. 关于$x$的多项式$k(k + 1)x^{3} + kx^{2} + x^{2} - 4x - 3$是关于$x$的二次多项式.
(1)直接写出$k$的值为0；
(2)若该多项式的值为 2，且规定$[a]$表示不超过$a$的最大整数，如$[2.3] = 2$，请在此规定下求$[2019k - \frac{1}{2}x^{2} + 2x]$的值.

答案： 9.
(1)0
(2)由条件得$x^2-4x-3=2,x^2-4x=5,2019k-\frac{1}{2}x^2+2x=-\frac{1}{2}x^2+2x=-\frac{1}{2}(x^2-4x)=-\frac{5}{2},$
于是依据规定得$\lfloor-\frac{5}{2}\rfloor=-3.$

10. 如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数 12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是 1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是 1，2，3，2，1，因此 12321 是一个“和谐数”.再如 22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”.
(1)请你直接写出 3 个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被 11 整除，并说明理由.
(2)已知一个能被 11 整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为$x(1\leqslant x\leqslant4$，$x$为自然数)，十位上的数字为$y$，求$y$与$x$的关系式.
（重庆市中考题）

答案： 10.
(1)设四位“和谐数”个位上的数字为$a(1\leq a\leq9$且a为自然数),十位上的数字为$b(0\leq b\leq9$且b为自然数),则四位“和谐数”可表示为1000a+100b+10b+a.
∵1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11×91a+11×10b=11(91a+10b),
∴1000a+100b+10b+a能被11整除,
即任意一个四位“和谐数”均能被11整除.
(2)
∵这个三位“和谐数”的个位上的数字为x,十位上的数字为y,
∴这个三位“和谐数”可表示为100x+10y+x.
∵100x+10y+x=99x+11y+2x-y=11(9x+y)+(2x-y),
又
∵这个三位“和谐数”能被11整除,且x,y是自然数,
∴2x-y能被11整除.
∵$1\leq x\leq4,0\leq y\leq9,$
∴2x-y=0.
∴y与x的关系式为$y=2x(1\leq x\leq4$且x为自然数).