《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 3
已知正整数 $ a,b,c $ 满足 $ a ＜ b ＜ c $，且 $ ab + bc + ca = abc $，求所有符合条件的 $ a,b,c $.
(四川省竞赛题)
 

答案： 因为正整数$a,b,c$满足$a ＜ b ＜ c$，且$ab + bc + ca = abc$，则：
步骤1：确定$a$的取值范围
由于$1 \leq a ＜ b ＜ c$，可得$ab ＜ bc$，$ca ＜ bc$，因此$ab + bc + ca ＜ bc + bc + bc = 3bc$，即$abc ＜ 3bc$。两边同时除以$bc$（$bc \neq 0$），得$a ＜ 3$，故$a = 1$或$a = 2$。
步骤2：分类讨论$a$的值
情况1：$a = 1$
代入$ab + bc + ca = abc$，得$1 · b + bc + c · 1 = 1 · b · c$，化简为$b + c + bc = bc$，即$b + c = 0$。由于$b,c$为正整数，此式不成立，舍去。
情况2：$a = 2$
代入$ab + bc + ca = abc$，得$2b + bc + 2c = 2bc$，化简为$2b + 2c = bc$，进一步变形为$(b - 2)(c - 2) = 4$。
因为$2 ＜ b ＜ c$，所以$0 ＜ b - 2 ＜ c - 2$，且$b - 2,c - 2$为正整数。$4$的正整数分解为$1 × 4$，故$b - 2 = 1$，$c - 2 = 4$，解得$b = 3$，$c = 6$。
结论
符合条件的正整数为$a = 2$，$b = 3$，$c = 6$。
$\boxed{a=2,b=3,c=6}$

例 4
已知 $ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 $ 是彼此互不相等的正整数，它们的和等于 159，求其中最小数 $ a_1 $ 的最大值.
(北京市竞赛题)
 

答案： 答题卡：
设 $a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ a_4 ＜ a_5 ＜ a_6 ＜ a_7$，且 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 159$。
由于 $a_1, a_2, \ldots, a_7$ 为互不相等的正整数，根据整数的性质，有：
$a_1 + 1 \leq a_2$，
$a_1 + 2 \leq a_3$，
$a_1 + 3 \leq a_4$，
$a_1 + 4 \leq a_5$，
$a_1 + 5 \leq a_6$，
$a_1 + 6 \leq a_7$。
将上述不等式相加，得到：
$7a_1 + 21 \leq 159$，
$7a_1 \leq 159-21$，
$7a_1 \leq 138$，
$a_1 \leq 19\frac{5}{7}$。
由于$a_1$为正整数，所以$a_1$的最大值为$19$。
验证：
当 $a_1 = 19$ 时，取 $a_2 = 20, a_3 = 21, a_4 = 22, a_5 = 24,a_6 = 25, a_7 = 28$，满足 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 159$。
故最小数 $a_1$ 的最大值为 $19$。