《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 阅读材料：
无限循环小数可转化为分数，如将 $ 2.145145145·s $ 转化为分数，
设 $ a = 2.145145145·s $，
两边同乘以 1000 得 $ 1000a = 2145.145145145·s $，
则 $ 1000a - a = 999a = 2145 - 2 = 2143 $，故有 $ a = 2.145145145·s = \frac{2143}{999} $。
（1）依照以上方法，请你将 $ 4.141414·s $ 转化为分数；
（2）依照以上方法，请你将 $ 0.1454545·s $ 转化为分数。
（《时代学习报》数学文化节试题）

答案： $10(1)4.141414⋯=\frac{410}{99} $
(2)设a=0.1454545⋯,则10a=1.454545⋯,1000a=145.4545⋯,1000a-10a=990a=145-1=144,
故$a=0.1454545⋯=\frac{144}{990}=\frac{8}{55}.$

11. 若最简分数 $ \frac{p}{q} $ 写成小数形式为 $ 0.abababab·s $（这里非负整数 $ a $，$ b $ 可以相等，但至少有一个非零）。请问：符合条件的分数中，不同的分子有多少个？
 

答案： 11形如0.abababab⋯的小数都能写成$\frac{k}{99}$的形式,k
是正整数,k=1,2,3,⋯,98.
在1,2,3,⋯,99中,或者是3的倍数,或者是11的倍数的数有$:\frac{99}{3}+\frac{99}{11}-\frac{99}{3×11}=39($个).
所以,在1,2,3,⋯,99中与99互素的正整数有:99-39=60(个).
又27的倍数有3个(因为$\frac{27}{99}=\frac{3}{11},\frac{54}{99}=\frac{6}{11},\frac{81}{99}=\frac{9}{11},$要补回3,6,9三个数).
故不同的分子共有:60+3=63(个).