《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 6
计算：
(1) $\frac{1}{1×3} + \frac{1}{3×5} + ·s + \frac{1}{2011×2013}$；
(2) $\frac{1}{2×4} + \frac{1}{4×6} + ·s + \frac{1}{2012×2014}$；
(3) $\frac{1}{1×2×3} + \frac{1}{2×3×4} + ·s + \frac{1}{2012×2013×2014}$；
(4) $1×2 + 2×3 + 3×4 + ·s + n(n + 1)$；
(5) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ·s + n^2$.
 

答案：
(1)
因为$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right)$，
原式$= \frac{1}{2}\left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + ·s + \left(\frac{1}{2011} - \frac{1}{2013}\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2013}\right) = \frac{1}{2} × \frac{2012}{2013} = \frac{1006}{2013}$。
(2)
因为$\frac{1}{2n(2n + 2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 2}\right)$，
原式$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + ·s + \left(\frac{1}{2012} - \frac{1}{2014}\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2014}\right) = \frac{1}{2} × \frac{1006}{2014} = \frac{503}{2014}$。
(3)
因为$\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n + 1)} - \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}\right]$，
原式$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1 × 2} - \frac{1}{2 × 3}\right) + \left(\frac{1}{2 × 3} - \frac{1}{3 × 4}\right) + ·s + \left(\frac{1}{2012 × 2013} - \frac{1}{2013 × 2014}\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 × 2} - \frac{1}{2013 × 2014}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4054182}\right) = \frac{1013545}{4054182}$。
(4)
因为$n(n + 1) = \frac{1}{3}\left[n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)\right]$，
原式$= \frac{1}{3}\left[1 × 2 × 3 - 0 × 1 × 2 + 2 × 3 × 4 - 1 × 2 × 3 + ·s + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)\right]$
$= \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$。
(5)
因为$n^2 = n(n + 1) - n$，
原式$= \sum_{k=1}^n k(k + 1) - \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2) - \frac{1}{2}n(n + 1)$
$= n(n + 1)\left[\frac{n + 2}{3} - \frac{1}{2}\right] = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$。