《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 1
（1）平面上的 $ n $ 个点最多能画出多少条直线？
（2）平面上的 $ n $ 条直线最多有多少个交点？
分析 要求数量“最多”，需无三点共线或无三线交于一点。从简单情形切入，观察归纳，发现规律。
 

 

 

答案： （1）要使画出的直线最多，需任意三点不共线。
当 $ n=2 $ 时，最多可画 $ 1 $ 条直线；
当 $ n=3 $ 时，第3个点与前2个点分别连线，增加2条直线，共 $ 1+2=3 $ 条；
当 $ n=4 $ 时，第4个点与前3个点分别连线，增加3条直线，共 $ 1+2+3=6 $ 条；
以此类推，第 $ n $ 个点与前 $ n-1 $ 个点连线，增加 $ n-1 $ 条直线。
故总直线数为 $ 1+2+3+·s+(n-1) $，根据等差数列求和公式可得：
$ 1+2+·s+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} $
因此，平面上 $ n $ 个点最多能画出 $ \frac{n(n-1)}{2} $ 条直线。
（2）要使交点最多，需任意三条直线不共点。
当 $ n=2 $ 时，最多有 $ 1 $ 个交点；
当 $ n=3 $ 时，第3条直线与前2条直线分别相交，增加2个交点，共 $ 1+2=3 $ 个；
当 $ n=4 $ 时，第4条直线与前3条直线分别相交，增加3个交点，共 $ 1+2+3=6 $ 个；
以此类推，第 $ n $ 条直线与前 $ n-1 $ 条直线相交，增加 $ n-1 $ 个交点。
故总交点数为 $ 1+2+3+·s+(n-1) $，同理可得：
$ 1+2+·s+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} $
因此，平面上 $ n $ 条直线最多有 $ \frac{n(n-1)}{2} $ 个交点。
答案
（1）$\frac{n(n-1)}{2}$；
（2）$\frac{n(n-1)}{2}$。