《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

3. 如图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由$A$地到$B$地的路线图(箭头表示行进的方向)。其中$E$为$AB$的中点，$AH＞HB$，判断三人行进路线长度的大小关系为(D)。

A.甲$＜$乙$＜$丙
B.乙$＜$丙$＜$甲
C.丙$＜$乙$＜$甲
D.甲$=$乙$=$丙
 

答案： 3.D

4. 如图，$\triangle ABC$的边$BC$长为 4 cm，将$\triangle ABC$向上平移 2 cm 得到$\triangle A'B'C'$，且$BB'\perp BC$，则图中阴影部分的面积为8$cm^{2}$。
(浙江省台州市中考题)

答案： 4.8　$S_{阴影}=S_{长方形B'BCC'}$

5. 如图，在长为 14 m、宽为 10 m 的长方形展厅，画出三个形状大小完全一样的小长方形摆放鲜花，则每个小长方形的周长为16。

答案：
5.如图,分别作如下平移$AB \to EF,CN \to FG,BC \to AD,NG \to DE,BL \to IJ,MN \to HI,BM \to LK,NH \to KJ$.于是发现，三个小长方形的周长恰好就是展厅的周长，所以每个小长方形的周长为$(14 + 10) × 2 ÷ 3 = 16(m)$.
　　　　　

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 3$ cm，$AC = 4$ cm，$BC = 5$ cm。将$\triangle ABC$沿直线$BC$向右平移 3 cm 得到$\triangle DEF$，$DE$交$AC$于点$G$，连接$AD$。给出下列结论：①$ED\perp AC$；②$AG=\frac{12}{5}$ cm；③$CE = 3$ cm；④点$D$到线段$AC$的距离是 2 cm。其中结论正确的序号是①②。

答案： 6.①②　过点$A$作$AH \perp BE$于$H$，则四边形$ABED$为平行四边形，$AB · AC = AH · BC$，$AG · DE = AH · BE$，$AG = AH$，同理可得点$D$到线段$AC$的距离为$\frac{9}{5} cm$.

7. 如图，$A$，$B$两村之间有两条平行的河，一河宽为$a$，另一河宽为$b$，从$A$到$B$要修两座垂直于河岸的桥，要使路程最近，请你设计修桥位置，并说明理由。

答案：
7.作法:
(1)作$AA_1 \perp l_1$，使$AA_1 = a$，过点$B$作$BB_1 \perp l_4$，使$BB_1 = b$.
(2)连接$A_1B_1$，分别交$l_2,l_3$于点$M,N$，则$M,N$便是修桥地点，设垂直于河岸的桥分别是$MM_1,NN_1$，则从$A$到$B$可沿折线$AM_1MNN_1B$行走，折线为从$A$到$B$的最短路线，如图.
　 证明:设另选修桥位置，如在$M',N'$处，所修垂直于河岸的桥是$M'M_2,N'N_2$，则从$A$到$B$需经折线$AM_2M'N'N_2B$，连接$A_1M',B_1N'$，显然$A_1M' = AM_2,B_1N' = BN_2$.因此，折线$AM_2M'N'N_2B =$折线$AA_1M'N'B_1B$，而折线$AM_1MNN_1B =$折线$AA_1M'N'B_1B$，又折线$A_1M'N'B_1 ＞$直线$A_1B_1$，故折线$AM_2M'N'N_2B ＞$折线$AM_1MNN_1B$，即折线$AM_1MNN_1B$为从$A$经过两座垂直于河岸的桥到达$B$点的最短路线.