《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

7. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法。例如，代数式$|x - 2|$的几何意义是数轴上$x$所对应的点与$2$所对应的点之间的距离。因为$|x + 1| = |x - (-1)|$，所以$|x + 1|$的几何意义就是数轴上$x$所对应的点与$-1$所对应的点之间的距离。
(1)发现问题：代数式$|x + 1| + |x - 2|$的最小值是多少？
(2)探究问题：如图①，点$A$，$B$，$P$分别表示数$-1$，$2$，$x$，$AB = 3$。
 

答案：
7.
(3)①6
②如答图①，点$A,B,P$分别表示数$- 3,1,x$，$AB = 4$.
$\because |x + 3| + |x - 1|$的几何意义是线段$PA$与$PB$的长度之和，
$\therefore$当点$P$在线段$AB$上时，$PA + PB = 4$，当点$P$在点$A$的左侧或点$B$的右侧时，$PA + PB ＞ 4$，
$\therefore |x + 3| + |x - 1| ＞ 4$的解集是$x ＜ - 3$或$x ＞ 1$.


③如答图②，点$A,B,P$分别表示数$- a,3,x$，$AB = |3 - (- a)| = |a + 3|$.
$\because |x + a| + |x - 3|$的几何意义是线段$PA$与$PB$的长度之和.
由②可知，当点$P$在线段$AB$上时，$PA + PB$的最小值为$AB = |a + 3| = 2$，$a = - 1$或$- 5$.

8. (1)求$|x - 1| + 2|x - 3| + 3|x - 4|$的最小值；
(2)求$|x - 2| + |x - 4| + |x - 6| + ·s + |x - 2000|$的最小值。

答案： 8.
(1)当$3 \leq x \leq 4$时，原式有最小值，最小值为$5$.
(2)当$1000 \leq x \leq 1002$时，原式有最小值，最小值为：$(1002 - 2) + (1004 - 4) + ·s + (2000 - 1000) = 500000$.