《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

4. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”. 如图所示，“优美矩形”$ABCD$ 的周长为 $26$，则正方形 $d$ 的边长为5.
(四川省乐山市中考题)

答案： 4. 5 设正方形$b$的边长为$x$，由$(3x + 5x + 5x) × 2 = 26$，得$x = 1$，$5x = 5$。

5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程为 $378$ 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天和第六天这两天共走了(D).

A.$102$ 里
B.$126$ 里
C.$192$ 里
D.$198$ 里
 

答案： 5. D 设第六天走的路程为$x$里，则$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 378$，得$x = 6$。

6. 若关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x + 3n - 12 = 0$ 有无穷解，则 $m + n$ 的值为(C).

A.$-1$
B.$0$
C.$5$
D.$2$

答案： 6. C 由$(m - 1)x = 12 - 3n$，得$m - 1 = 0$，$12 - 3n = 0$。

7. 已知 $m$，$n$ 都是质数，若关于 $x$ 的方程 $mx + 5n = 97$ 的解为 $3$，则 $m - n^4 =$(D).

A.$0$
B.$3$
C.$5$
D.$13$
 

答案： 7. D 由条件得$3m + 5n = 97$，$3m$与$5n$必有一个是奇数，一个是偶数，经讨论知$m = 29$，$n = 2$。

8. 若 $k$ 为整数，且使得方程 $(k - 1999)x = 2001 - 2000x$ 的解也是整数的 $k$ 值有(D).

A.$4$ 个
B.$8$ 个
C.$12$ 个
D.$16$ 个
 

答案： 8. D $x = \frac{2001}{k + 1}$为整数，$2001 = 1 × 3 × 23 × 29$，故$k + 1$可取$\pm1$，$\pm3$，$\pm23$，$\pm29$，$\pm(3 × 23)$，$\pm(3 × 29)$，$\pm(23 × 29)$，$\pm2001$共16个值.其相应的$k$值也有16个。

9. 解下列关于 $x$ 的方程：
(1) $\frac{1}{9}\{\frac{1}{7}[\frac{1}{5}(\frac{x + 2}{3} + 4) + 6] + 8\} = 1$；
（“创新杯”竞赛题）
(2) $\frac{x - 2}{0.2} - \frac{0.1x - 0.1}{0.05} = 3$；
(3) $x + \frac{x}{1 + 2} + \frac{x}{1 + 2 + 3} + ·s + \frac{x}{1 + 2 + 3 + ·s + 2009} = 2009$；
（“希望杯”邀请赛试题）
(4) $\frac{x + a + b}{c} + \frac{x + b + c}{a} + \frac{x + a + c}{b} = -3$.
（广西壮族自治区竞赛题）

答案： 9.
(1)先逐层去括号，得$x = 1$。
(2)$x=\frac{11}{3}$
(3)$(1 + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ·s + \frac{1}{2009 × 2010})\frac{x}{2} = 2009$，
$2x[\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ·s + (\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010})] = 2009$，
$(\frac{x + a + b + 1}{c} + 1) + (\frac{x + b + c + 1}{a} + 1) + (\frac{x + a + c + 1}{b} + 1) = 0$，
$\frac{x + a + b + c}{c} + \frac{x + a + b + c}{a} + \frac{x + a + b + c}{b} = 0$，
$(x + a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 0$。
当$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \neq 0$时，$x = -a - b - c$；
当$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$时，原方程有无数个解。