《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 6
证明若正有理数 $ a $ 不是有理数的 $ n $ 次方 ($ n $ 为大于 $ 1 $ 的整数)，则 $ \sqrt[n]{a} $ 是一个无理数。
 

答案： 证明：假设$\sqrt[n]{a}$不是无理数，则$\sqrt[n]{a}$为有理数。设$\sqrt[n]{a}=b$（$b$为有理数），两边同时$n$次方，得$a = b^n$。此结果表明有理数$a$是有理数$b$的$n$次方，与已知“正有理数$a$不是有理数的$n$次方”矛盾。故假设不成立，因此$\sqrt[n]{a}$是无理数。

1. 若 $ a $，$ b $ 是实数，且 $ a^2 = \sqrt{b - 1} + \sqrt{2 - 2b} + 4 $，则 $ a + b $ 的值为3或-1。
(湖北省黄冈市中考题)

答案： 1.3或−1，b = 1，a² = 4.

2. 公元 $ 3 $ 世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 $ \sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a} $ 得到 $ \sqrt{2} $ 的近似值。他的算法是：先将 $ \sqrt{2} $ 看成 $ \sqrt{1^2 + 1} $，由近似公式得 $ \sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{2 × 1} = \frac{3}{2} $；再将 $ \sqrt{2} $ 看成 $ \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{4})} $，由近似公式得 $ \sqrt{2} \approx \frac{3}{2} + \frac{-\frac{1}{4}}{2 × \frac{3}{2}} = \frac{17}{12} ·s ·s $ 依此算法，所得 $ \sqrt{2} $ 的近似值会越来越精确。当 $ \sqrt{2} $ 取得近似值 $ \frac{577}{408} $ 时，近似公式中的 $ a $ 是\frac{17}{12}或\frac{24}{17}，$ r $ 是-\frac{1}{144}或\frac{2}{289}。
(福建省厦门市中考题)

答案： 2.$\frac{17}{12}$或$\frac{24}{17}$　−$\frac{1}{144}$或$\frac{2}{289}$　$\sqrt{2}$≈$\frac{17}{12}$，将$\sqrt{2}$看成$-\frac{1}{144}$，$\sqrt{(\frac{17}{12})^{2}+(-\frac{1}{144})}\approx\frac{17}{12}+\frac{144}{2×\frac{17}{12}}=\frac{577}{408}$.