《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 2 假期里小丁在一家餐馆里做兼职洗碗。每洗好一个碗可得到 $ 3 $ 元，每打破一个碗不仅不能得到洗这个碗的工资，还要另赔 $ 9 $ 元。一个星期内，他总共洗了 $ 500 $ 个碗，共领到了 $ 1368 $ 元。则他一共打破了()个碗。

A.$ 7 $
B.$ 8 $
C.$ 9 $
D.$ 10 $
E.$ 11 $
 

答案： E

例 3 某公园的门票是 $ 10 $ 元/人，团体购票有如下优惠：

某校七年级两个班到该公园秋游，其中甲班多于 $ 30 $ 人，乙班不足 $ 30 $ 人，如果以班为单位分别购票，两个班一共应付 $ 598 $ 元；如果两个班作为一个团体购票，一共应付 $ 545 $ 元，则甲班、乙班分别有多少人？
 

答案： 设两个班总人数为$ n $人。
因团体购票费用为545元，若$ n=60 $，费用为$ 30×10+(60-30)×8=540 $元，$ 545-540=5 $元，超出60人部分每人5元，故$ n=60+1=61 $人。
设乙班有$ x $人（$ x＜30 $），则甲班有$ 61-x $人（$ 61-x＞30 $）。
乙班费用：$ 10x $元；甲班人数$ 61-x $（31~60人），费用：$ 30×10+(61-x-30)×8=300+8(31-x) $元。
由分别购票共598元，得方程：
$ 10x + 300 + 8(31 - x) = 598 $
$ 10x + 300 + 248 - 8x = 598 $
$ 2x + 548 = 598 $
$ 2x = 50 $
$ x=25 $
甲班人数：$ 61 - 25 = 36 $人。
答：甲班36人，乙班25人。

例 4 瑞士数学家欧拉（L. Euler，1707—1783）是历史上最多产的数学家之一，据统计他一共写了 $ 886 $ 本（篇）书和论文。法国著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师。”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影。下列问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题。
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子们这样分他的财产：第一个儿子分得 $ 100 $ 克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得 $ 200 $ 克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得 $ 300 $ 克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？
分析与解 根据设未知数思路的不同，可得多种解法。
 

答案： 设每位儿子分得 $x$ 克朗，父亲总财产为 $y$ 克朗。
根据题意，第一位儿子分得：
$x = 100 + \frac{y - 100}{10}$。
第二位儿子分得：
$x = 200 + \frac{y - x - 200}{10}$。
由$100 + \frac{y - 100}{10}=200 + \frac{y - x - 200}{10}$，
化简得：
$100-\frac{x + 100}{10}=0$，
$1000-x - 100=0$，
$x=900$。
将$x=900$代入$x = 100 + \frac{y - 100}{10}$，
得$900 = 100 + \frac{y - 100}{10}$，
解得$y=8100+100- 100=8100$。
儿子数量为：
$8100÷900=9$。
综上所述，这位父亲共有 9 个儿子，每个儿子分得 900 克朗，父亲共留下 8100 克朗财产。