《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 1 已知$a,b,x,y$都为实数，且$y + |\sqrt{x}-2| = 1 - a^2,|x - 4| = 3y - 3 - b^2$，则$a + b + x + y$的值为。
(安徽师大附中自主招生试题)
 

答案： 由已知等式：
1. $ y + |\sqrt{x} - 2| = 1 - a^2 $，变形得 $ |\sqrt{x} - 2| = 1 - a^2 - y $。
因 $ |\sqrt{x} - 2| \geq 0 $，故 $ 1 - a^2 - y \geq 0 $，即 $ y \leq 1 - a^2 $。
又 $ a^2 \geq 0 $，则 $ 1 - a^2 \leq 1 $，因此 $ y \leq 1 $。
2. $ |x - 4| = 3y - 3 - b^2 $，变形得 $ |x - 4| = 3(y - 1) - b^2 $。
因 $ |x - 4| \geq 0 $，故 $ 3(y - 1) - b^2 \geq 0 $。
又 $ b^2 \geq 0 $，则 $ 3(y - 1) \geq b^2 \geq 0 $，即 $ y - 1 \geq 0 $，因此 $ y \geq 1 $。
由 $ y \leq 1 $ 且 $ y \geq 1 $，得 $ y = 1 $。
将 $ y = 1 $ 代入第一个等式：$ 1 + |\sqrt{x} - 2| = 1 - a^2 $，化简得 $ |\sqrt{x} - 2| = -a^2 $。
因 $ |\sqrt{x} - 2| \geq 0 $ 且 $ -a^2 \leq 0 $，故 $ |\sqrt{x} - 2| = 0 $ 且 $ a^2 = 0 $，解得 $ \sqrt{x} = 2 $，$ a = 0 $，从而 $ x = 4 $。
将 $ y = 1 $，$ x = 4 $ 代入第二个等式：$ |4 - 4| = 3×1 - 3 - b^2 $，化简得 $ 0 = -b^2 $，故 $ b^2 = 0 $，即 $ b = 0 $。
因此，$ a = 0 $，$ b = 0 $，$ x = 4 $，$ y = 1 $，则 $ a + b + x + y = 0 + 0 + 4 + 1 = 5 $。
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