《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 1 (1)如图所示，点$A$，$B$所代表的数分别为$-1$，$2$，在数轴上画出与$A$，$B$两点的距离和为$5$的点(并标上字母)。

(2)若数轴上点$A$，$B$所代表的数分别为$a$，$b$，则$A$，$B$两点之间的距离可表示为$AB = |a - b|$，那么，当$|x + 1| + |x - 2| = 7$时，$x =$；当$|x + 1| + |x - 2| ＞ 5$时，数$x$所对应的点在数轴上的位置是在。

答案：
解:
(1) 设所求点表示的数为$x$，
则到点$A(-1)$的距离为$|x + 1|$，到点$B(2)$的距离为$|x - 2|$，距离和为$|x + 1| + |x - 2| = 5$。
$\because AB = |2 - (-1)| = 3$，当$x$在$A$、$B$之间时，距离和为$3 ＜ 5$，
故点在$A$左侧或$B$右侧。
当$x ＜ -1$时：$-(x + 1) + (2 - x) = 5$，解得$x = -2$；
当$x ＞ 2$时：$(x + 1) + (x - 2) = 5$，解得$x = 3$。
在数轴上标出点$C(-2)$和$D(3)$。

(2) 解方程$|x + 1| + |x - 2| = 7$：
当$x ＜ -1$时：$-(x + 1) - (x - 2) = 7$，即$-2x + 1 = 7$，解得$x = -3$；
当$x ＞ 2$时：$(x + 1) + (x - 2) = 7$，即$2x - 1 = 7$，解得$x = 4$；
故$x = -3$或$4$。
当$|x + 1| + |x - 2| ＞ 5$时，由
(1)知距离和为$5$的点为$C(-2)$、$D(3)$，
故$x$在点$C$的左边或点$D$的右边。

例 2 已知$0 \leq a \leq 4$，那么$|a - 2| + |3 - a|$的最大值为( )。

A.$1$
B.$5$
C.$8$
D.$3$
 

答案： B