《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

13. 【问题提出】
如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张$a×b$的方格纸($a×b$的方格纸指边长分别为$a$，$b$的矩形，被分成$a×b$个边长为 1 的小正方形，其中$a≥2$，$b≥2$，且$a$，$b$为正整数)。把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
【问题探究】
为探究规律：我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论。
探究一：
把图①放置在$2×2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于$2×2$的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法。
探究二：
把图①放置在$3×2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在$3×2$的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的$2×2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$3×2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有$2×4 = 8$种不同的放置方法。
探究三：
把图①放置在$a×2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在$a×2$的方格纸中，共可以找到(a-1)个位置不同的$2×2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$a×2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有(4a-4)种不同的放置方法。
探究四：
把图①放置在$a×3$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在$a×3$的方格纸中，共可以找到2(a-1)个位置不同的$2×2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$a×3$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有(8a-8)种不同的放置方法。
【问题解决】
把图①放置在$a×b$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？(仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图。)
【问题拓展】
如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$($a≥2$，$b≥2$，$c≥2$，且$a$，$b$，$c$是正整数)的长方体，被分成了$a×b×c$个棱长为 1 的小立方体。在图⑧的不同位置共可以找到8(a-1)(b-1)(c-1)个图⑦这样的几何体。
(山东省青岛市中考题)

答案： 13.探究三:根据探究二，a×2的方格纸中可以找到(a−1)个位置不同的2×2方格;则根据探究一可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2 的方格纸中有(a−1)×4=(4a−4)种不同的放置方法.
探究四:与探究三相比，本题矩形的宽变了，可以沿用上一问的思路:边长为a,有(a−1)条长为2的线段;同理，边长为3,则有3−1=2条长为2的线段.所以在a×3的方格纸中可以找到2×(a−1)=(2a-2)个位置不同的2×2方格.根据探究一,在a×3的方格纸中有(2a−2)×4=(8a−8)种不同的放置方法.
问题解决:在a×b的方格纸中,共可以找到(a−1)(b−1)个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知:把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a−1)(b−1)种不同放置方法.
问题拓展:本题是从平面图形拓展到了立体几何图形，我们发现图⑦是从棱长为2的正方体中找到的，利用前面探究的思路和结论，这个长方体长、宽、高分别为a,b,c,则分别可以找到(a−1),(b−1)，(c−1)条边长为2的线段,所以在a×b×c的长方体中共可找到(a−1)(b−1)(c−1)个位置不同的2×2×2的正方体.再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体中有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可找到8(a−1)(b−1)(c−1)种位置不同的图⑦这样的几何体.