《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 2
如果 4 个不同的正整数 $m$，$n$，$p$，$q$ 满足 $(7 - m)(7 - n)(7 - p)(7 - q) = 4$，那么 $m + n + p + q$ 等于().
A. 10
B. 21
C. 24
D. 26
E. 28
 

答案： E

例 3
将有理数 $\frac{85}{84}$，$-\frac{88}{87}$，$\frac{84}{83}$，$-\frac{87}{86}$，$\frac{86}{85}$ 两两相乘得到 10 个积，将 10 个积从大到小顺序排列，排在第 5 个的积是哪两个有理数的乘积？
 

答案： 1. 比较5个有理数大小：
$\frac{84}{83}=1+\frac{1}{83}$，$\frac{85}{84}=1+\frac{1}{84}$，$\frac{86}{85}=1+\frac{1}{85}$，因$\frac{1}{83}＞\frac{1}{84}＞\frac{1}{85}$，故$\frac{84}{83}＞\frac{85}{84}＞\frac{86}{85}$；
$-\frac{88}{87}=-(1+\frac{1}{87})$，$-\frac{87}{86}=-(1+\frac{1}{86})$，因$1+\frac{1}{87}＜1+\frac{1}{86}$，故$-\frac{88}{87}＞-\frac{87}{86}$；
综上：$\frac{84}{83}＞\frac{85}{84}＞\frac{86}{85}＞-\frac{88}{87}＞-\frac{87}{86}$。
2. 10个积中，正数积4个（3正两两相乘3个，2负相乘1个），负数积6个（3正×2负），从大到小排列，第5个为最大负数积。
3. 负数积为：$\frac{84}{83}×(-\frac{88}{87})$，$\frac{85}{84}×(-\frac{88}{87})$，$\frac{86}{85}×(-\frac{88}{87})$，$\frac{84}{83}×(-\frac{87}{86})$，$\frac{85}{84}×(-\frac{87}{86})$，$\frac{86}{85}×(-\frac{87}{86})$。
4. 比较负数积大小：对$-\frac{88}{87}$，$\frac{86}{85}×(-\frac{88}{87})＞\frac{85}{84}×(-\frac{88}{87})＞\frac{84}{83}×(-\frac{88}{87})$；对$-\frac{87}{86}$，$\frac{86}{85}×(-\frac{87}{86})＞\frac{85}{84}×(-\frac{87}{86})＞\frac{84}{83}×(-\frac{87}{86})$；因$-\frac{88}{87}＞-\frac{87}{86}$，故$\frac{86}{85}×(-\frac{88}{87})＞\frac{86}{85}×(-\frac{87}{86})$，最大负数积为$\frac{86}{85}×(-\frac{88}{87})$。
5. 第5个积是有理数$\frac{86}{85}$与$-\frac{88}{87}$的乘积。
$\frac{86}{85}×(-\frac{88}{87})$