《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 观察下列按一定规律排列的三行数：
$-2$，$4$，$-8$，$16$，$-32$，$64$，$·s$； ①
$1$，$7$，$-5$，$19$，$-29$，$67$，$·s$； ②
$1$，$-5$，$7$，$-17$，$31$，$-65$，$·s$； ③
解答下列问题：
(1)每一行的第$8$个数分别是256，259，-257；
(2)分别写出第二行和第三行的第$n$个数：$(-2)^n+3-(-2)^n-1$，$(-2)^n+3-(-2)^n-1$；
(3)取每行数的第$m$个数，是否存在$m$的值，使这三个数的和等于$514$？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 10.
(1)256 259 -257
(2)$(-2)^n+3-(-2)^n-1$
(3)设第一行第m个数为x，由$x+(x+3)+(-x-1)=514$，得$x=512$，但第一行第9个数为-512，故不存在这样的m值.

11. 求证：(1)$3^{2002}+4^{2002}$是$5$的倍数；
(2)对于任意自然数$n$来说，总能使$(n + 1)^{2005}+n^{2005}+(n - 1)^{2005}-3n$被$10$整除.
（俄罗斯萨温市竞赛题）

答案： 11.
(1)因为$3^{2002}=3^{4×500+2}$，$4^{2002}=4^{4×500+2}$，所以$3^{2002}$与$4^{2002}$的个位数字分别与$3^2$，$4^2$的个位数字相同，即9,6，从而$3^{2002}+4^{2002}$的个位数字为5，因此，$3^{2002}+4^{2002}$是5的倍数.
(2)$n^{4k+1}-n$一定是10的倍数，原式=$[(n+1)^{2005}-(n+1)]+[(n^{2005}-n)]+[(n-1)^{2005}-(n-1)]$，每个括号里的数都能被10整除，所以原式也能被10整除.

12. 有人编了一个程序：从$1$开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加$2$或加$3$；每次乘法，将上次运算结果乘$2$或乘$3$.例如，$30$可以这样得到：$1\xrightarrow{+3}4\xrightarrow{× 2}8\xrightarrow{+2}10\xrightarrow{× 3}30$.
(1)证明：可以得到$22$.
(2)证明：可以得到$2^{100}+2^{97}-2$.
（全国初中数学联赛试题）

答案： 12.
(1)$1×2\rightarrow2\frac{+2}{}\rightarrow4\frac{×2}{}\rightarrow8\frac{+2}{}\rightarrow10\frac{×2}{}\rightarrow20\frac{+2}{}\rightarrow22$.
(2)$1\frac{×2}{}3×2-4\frac{+2}{}3×2-2\frac{×2}{}3×2^2-4\frac{+2}{}$
$3×2^2-2\rightarrow3×2^3-4\rightarrow3×2^3-2·s$（不断乘以2，再加2）$\rightarrow3×2^{96}-4\frac{+3}{}3×2^{96}-1\frac{×3}{}2^{99}+2^{96}-3\frac{+2}{}2^{99}+2^{96}-1\frac{×2}{}2^{100}+2^{97}-2$.