《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
如图①,$\triangle ABC$ 的面积为 $1$,$D$,$E$ 为 $AC$ 的三等分点,$F$,$G$ 为 $BC$ 的三等分点. 求:
(1)四边形 $PECF$ 的面积;
(2)四边形 $PFGN$ 的面积.
(国际城市邀请赛试题)
 

答案：
(1) 连接 $CP$，设 $S_{\triangle PCF} = x$，$S_{\triangle PCE} = y$。
由题意，$\triangle ABC$ 的面积为 $1$，$D$，$E$ 为 $AC$ 的三等分点，$F$，$G$ 为 $BC$ 的三等分点。
根据面积比例关系，可以列出方程组：
$\begin{cases}x + 3y = \frac{1}{3} \quad (①) \\3x + y = \frac{1}{3} \quad (②)\end{cases}$
将 $①$ 和 $②$ 相加，得到：
$4x + 4y = \frac{2}{3}$
$x + y = \frac{1}{6}$
因此，四边形 $PECF$ 的面积为 $S_{四边形PECF} = x + y = \frac{1}{6}$。
(2) 连接 $NC$，$ND$，设 $S_{\triangle NGB} = a$，$S_{\triangle NCE} = b$。
根据面积比例关系，可以列出方程组：
$\begin{cases}3a + b = \frac{1}{3} \quad (①) \\2a + 3b = \frac{2}{3} \quad (②)\end{cases}$
将 $① × 3 - ②$，得到：
$7a = \frac{1}{3}$
$a = \frac{1}{21}$
将 $a = \frac{1}{21}$ 代入 $①$，得到：
$3 × \frac{1}{21} + b = \frac{1}{3}$
$b = \frac{4}{21}$
因此，四边形 $PFGN$ 的面积为：
$S_{四边形PFGN} = S_{\triangle BEC} - S_{\triangle BNG} - S_{四边形PECF} = \frac{1}{3} - \frac{1}{21} - \frac{1}{6} = \frac{5}{42}$。

例 5
如图①,已知四边形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 是 $DC$ 边的三等分点,$G$,$H$ 是 $AB$ 边的三等分点.
求证:$S_{四边形GHFE}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$.
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
 

答案： 例5 证明：
如图②，连接$FG$，$DG$，$FB$，$DB$。
∵$E$，$F$是$DC$三等分点，$G$，$H$是$AB$三等分点，
∴$DE=EF=FC$，$AG=GH=HB$。
1. 证$S_{四边形DGBF}=2S_{四边形GHFE}$：
∵$\triangle EGF$与$\triangle EGD$等底（$EF=DE$）同高，
∴$S_{\triangle EGF}=S_{\triangle EGD}$；同理$S_{\triangle HFG}=S_{\triangle HFB}$。
∴$S_{四边形DGBF}=S_{\triangle DGF}+S_{\triangle GFB}=2S_{\triangle EGF}+2S_{\triangle HFG}=2S_{四边形GHFE}$。①
2. 证$S_{\triangle FBC}+S_{\triangle DGA}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$：
∵$DE=EF=FC$，
∴$S_{\triangle DBC}=3S_{\triangle FBC}$（同高，底$DC=3FC$）；同理$S_{\triangle DBA}=3S_{\triangle DGA}$。
∴$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle DBC}+S_{\triangle DBA}=3(S_{\triangle FBC}+S_{\triangle DGA})$，故$S_{\triangle FBC}+S_{\triangle DGA}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$。②
3. 联立①②得结论：
$S_{四边形ABCD}=S_{四边形DGBF}+(S_{\triangle FBC}+S_{\triangle DGA})=2S_{四边形GHFE}+\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$。
移项得$2S_{四边形GHFE}=\frac{2}{3}S_{四边形ABCD}$，
∴$S_{四边形GHFE}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$。
【拓展】证明：
连接四边形$ABCD$对边的三等分点，将四边形横向三等分，由原题结论，中间横向区域面积为$\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$；同理，纵向三等分，中间纵向区域面积为$\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}$。阴影部分为横向中间与纵向中间的交集，
∴$S_{阴影}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{9}S_{四边形ABCD}$。
【应用】
已知四边形$ABCD$中，各边四等分点顺次连接形成中间四边形，求证：中间四边形面积为原四边形面积的$\frac{1}{16}$。