《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 3 (1)求$|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ·s + |x - 617|$的最小值；
(2)求$|x - 1| + 2|x - 3| + 3|x - 4|$的最小值；
(3)求$f(x) = |x - 1| + |2x - 1| + ·s + |2011x - 1|$的最小值。
 

答案：
(1) 原式表示数轴上点$x$到$1,2,·s,617$的距离之和。共有$617$个点（奇数），中间点为第$309$个点，即$x=309$时距离之和最小。最小值为：
$(308+307+·s+1)+(1+2+·s+308)=2×\frac{308×309}{2}=308×309=95172$
结论：$95172$。
(2) 原式变形为$|x-1|+|x-3|+|x-3|+|x-4|+|x-4|+|x-4|$，共$6$个点（偶数），排序为$1,3,3,4,4,4$。中间两数为第$3$和第$4$个数，即$3\leq x\leq4$时距离之和最小。取$x=3$，得：
$|3-1|+2|3-3|+3|3-4|=2+0+3=5$
结论：$5$。
(3) 原式变形为$|x-1|+\underbrace{|x-\frac{1}{2}|+·s+|x-\frac{1}{2}|}_{2个}+·s+\underbrace{|x-\frac{1}{2011}|+·s+|x-\frac{1}{2011}|}_{2011个}$，总点数$n=1+2+·s+2011=\frac{2011×2012}{2}=2023066$（偶数），中间位置为第$1011533$和$1011534$个点。设$1+2+·s+t\geq1011533$，解得$t=1422$，此时两点均为$\frac{1}{1422}$，即$x=\frac{1}{1422}$时最小。计算得：
$f\left(\frac{1}{1422}\right)=832\frac{491}{711}$
结论：$832\frac{491}{711}$。
答案
(1) $95172$；
(2) $5$；
(3) $832\frac{491}{711}$。

例 4 试求如下表达式的最大值：
$|·s ||x_1 - x_2| - x_3| - ·s - x_{1991}|$，其中$x_1$，$x_2$，$·s$，$x_{1991}$是由$1$到$1991$的不同自然数。
 

答案： $\boxed{1990}$