《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
将正整数 $1$ 至 $2018$ 按一定规律排列，如表所示：

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是 $2013$，$2016$，$2018$，$2019$ 吗？
 

答案： 设方框中三个数为横向相邻的三个数，设中间数为$x$，则另两个数为$x-1$，$x+1$，三数之和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$。
1. 判断和是否为3的倍数：
$2018÷3=672\frac{2}{3}$，非整数，排除。
剩余$2013,2016,2019$均为3的倍数，对应$x=671,672,673$。
2. 判断中间数$x$是否能使三数在同一行：
每行8个数，若三数在同一行，$x$不能为每行第1个数（$x\equiv1\mod8$，此时$x-1$在上一行）或第8个数（$x\equiv0\mod8$，此时$x+1$在下一行）。
$x=671$：$671=8×83+7$，余数7，非1或0，三数在同一行，可行。
$x=672$：$672=8×84$，余数0（第8个数），$x+1=673$在下一行，不可行。
$x=673$：$673=8×84+1$，余数1（第1个数），$x-1=672$在上一行，不可行。
结论：方框中三个数的和可能是2013。

1. 规定一种运算“$\triangle$”：$a\triangle b = \frac{1}{3}a - \frac{1}{4}b$，则方程 $x\triangle 2 = 1\triangle x$ 的解为\frac{10}{7}.
(贵州省中考题)

答案： 1. $x=\frac{10}{7}$

2. 若 $(5a + 2b)x^2 + ax + b = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，且有唯一解，则 $x =$\frac{5}{2}.

答案： 2. $\frac{5}{2}$ $5a + 2b = 0$且$a \neq 0$，$a = -\frac{2}{5}b$且$b \neq 0$，代入原方程得$-\frac{2}{5}bx + b = 0$。

3. 如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 $n$ 个图形中有 $120$ 朵玫瑰花，则 $n$ 的值为30.
(山东省烟台市中考题)

答案： 3. 30 第$n$个图形中玫瑰花的朵数为$4n$。