《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

8. 图形的操作过程
(本题中四个矩形的水平方向的边长均为$a$，竖直方向的边长均为$b$)
在图①中，将线段$A_{1}A_{2}$向右平移 1 个单位长度到$B_{1}B_{2}$，得到封闭图形$A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}$(即阴影部分)；在图②中，将折线$A_{1}A_{2}A_{3}$向右平移 1 个单位长度到$B_{1}B_{2}B_{3}$，得到封闭图形$A_{1}A_{2}A_{3}B_{3}B_{2}B_{1}$(即阴影部分)。
(1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 1 个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
$S_{1}=$ab - b，$S_{2}=$ab - b，$S_{3}=$ab - b；
(3)联想与探索：
如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是 1 个单位长度)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
(河北省中考题)

答案：
8.
(1)略
(2)$S_1$、$S_2$、$S_3$的结果都是$ab - b$.
　　　　　　
(3)这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤，关键是探索:当道路在由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分(即草地)面积的情况.
　　　猜想:依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是$ab - b$.
　　　方法是将其中一侧的草地平移一个单位长度向另一侧草地靠拢，将“小路”沿左右两个边界剪去，得到一个新的矩形.
　　　此时，在新的矩形中，其纵向宽度仍然是$b$，其水平方向的长度变成了$a - 1$，所以草地面积是$b(a - 1) = ab - b$.

9. 如图①，在平面直角坐标系中，点$A(a,0)$在$x$轴正半轴上，点$B$是第四象限内一点，$BC\perp y$轴于点$C(0,c)$且$\sqrt{a - 2}+|c + 3| = 0$，$S_{四边形ABCO}=9$。
(1)求点$B$的坐标。
(2)如图②，$D$是线段$OC$上一动点，$DE// AB$交$BC$于点$E$，$\angle ODE$的角平分线与$\angle BAF$的角平分线交于第四象限内的一点$G$，$AB$与$DG$交于点$H$，求$\angle AGD$的度数。
(3)如图③，将点$C$向左平移 4 个单位得到点$H$，连接$AH$，交$y$轴于点$D$。
①求点$D$的坐标；
②$y$轴上是否存在点$M$，使三角形$AHM$和三角形$AHB$的面积相等？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
9.
(1)$B(4,-3)$
(2)$\angle AGD = 45°$.
(3)①如图①，连接$AC$，$\because S_{\triangle AHC} = S_{\triangle DHC} + S_{\triangle DCA}$，$\therefore \frac{4 × 3}{2} = \frac{4 × CD}{2} + \frac{CD × 2}{2}$，解得$CD = 2$.
　$\because OD = OC - CD = 1$，$\therefore$点$D$的坐标为$(0,-1)$.
　②如图②，连接$MH,MA$. $\because S_{\triangle AHB} = \frac{8 × 3}{2} = 12$，$S_{\triangle MHD} + S_{\triangle MAD} = S_{\triangle MHA}$，$\therefore \frac{4 × DM}{2} + \frac{2 × DM}{2} = 12$，解得$DM = 4$.
　$\because$点$D$的坐标为$(0,-1)$，$\therefore$点$M$的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$.