《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 1
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。请你观察图中正方形$A_1B_1C_1D_1$、$A_2B_2C_2D_2$、$A_3B_3C_3D_3·s·s$每个正方形四条边上的整点的个数，若累积到正方形$A_nB_nC_nD_n$时，整点共有$1680$个，则$n=$。
(浙江省宁波市宁波七中自主招生试题)

 

答案： 正方形$A_1B_1C_1D_1$四条边上的整点个数为$8$；
正方形$A_2B_2C_2D_2$四条边上的整点个数为$16$；
正方形$A_3B_3C_3D_3$四条边上的整点个数为$24$；
由此可得，第$n$个正方形$A_nB_nC_nD_n$四条边上的整点个数为$8n$。
累积到正方形$A_nB_nC_nD_n$时，整点总数为：
$8(1 + 2 + ·s + n) = 1680$。
根据等差数列求和公式，$1 + 2 + ·s + n = \frac{n(n + 1)}{2}$，代入上式得：
$8 × \frac{n(n + 1)}{2} = 1680$，
$n(n + 1) = 420$，
$n^2 + n - 420 = 0$，
$(n - 20)(n + 21) = 0$。
解得$n_1 = 20$，$n_2 = -21$（不合题意，舍去）。
故答案为：$n = 20$。