《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着 $-5$，$-2$，$1$，$9$，且任意相邻的 4 个台阶上标着的数的和都相等.
尝试 (1) 求前 4 个台阶上标着的数的和.
(2) 求第 5 个台阶上标着的数 $x$.
应用 求从下到上的前 31 个台阶上标着的数的和.
发现 试用含 $k$（$k$ 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数.
（河北省中考题）

答案： 10.尝试:
(1)3.
(2)-5. 应用:15. 发现:4k-1.

11. 若 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2016} = \frac{m}{n}$，其中 $m$ 与 $n$ 互质，求证：$2017|m$.
（“希望杯”邀请赛试题）

答案： 11.$\frac{m}{n}$=(1+$\frac{1}{2016}$)+($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2015}$)+$·s$+($\frac{1}{1008}$+$\frac{1}{1009}$)=2017($\frac{1}{1×2016}$+$\frac{1}{2×2015}$+$·s$+$\frac{1}{1008×1009}$)=$\frac{2017q}{1×2×·s×2016}$(通分后括号里的分数形如$\frac{q}{1×2×·s×2016}$,其中q是整数)即2017qn=1×2×$·s$×2016×m,又m与n互质,得2017|1×2×$·s$×2016×m,$\because$2017是质数,且2017与1×2×$·s$×2016互质,$\therefore$2017|m.

12. 在“$□ 1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9$”的小方格中填上“+”“-”号，如果可以使其代数和为 $n$，就称数 $n$ 是“可被表出的数”（如 1 是可被表出的数，这是因为 $+1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9$ 是 1 的一种可被表出的方法）.
(1) 求证：7 是可被表出的数，而 8 不是可被表出的数.
(2) 求 25 可被表出的不同方法的种数.
（四川省竞赛题）

答案： 12.
(1)因为+1-2-3+4+5-6+7-8+9=7,所以,7是可被表出的数.又1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是奇数,而对于任意两个整数a,b,代数式a+b与a-b均具有相同的奇偶性,因此,无论怎样填“+”“-”号,所得代数和一定是奇数,不可能为8.所以,8不是可被表出的数.
(2)设填“+”号的数字和为x,填“-”号的数字和为y,则x-y=25.又x+y=1+2+$·s$+9=45,则x=35,y=10.因为9＜10,1+2+3+4=10,所以,填“-”号的那些数字至少有2个,至多有4个.接下来只要在和为10的那些数前面填“-”号,其余的数前面填“+”号,就得到25的一种表示方法.所以,只要计算出“从1到9中选出若干个其和为10的数字”的不同方法,就得到25可被表出的不同方法种数.①10等于两数之和:10=1+9=2+8=3+7=4+6,共有4种方法;②10等于三数之和:10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+3+5,共有4种方法;③10等于四数之和:10=1+2+3+4,只有1种方法.综上,25可被表出的不同方法共有4+4+1=9种.