《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 图中有 12 个 $1×1$ 的小正方形，它们共有 20 个顶点. 从中取出 3 个作为三角形的顶点. 问：这些三角形中，面积是 2 的有多少个？
（世界数学团体锦标赛试题）

答案：
10.首先，由面积公式S=$\frac{1}{2}$×2×2=2,可知:
(1)以图①中的粗线段为底边时，顶点可以选5个黑点中的任意一个，此时，有5个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有5个这样的三角形……此图中共有5×3个这样的三角形.
同理，底边在大长方形的最上边的横边上,又有5×3个这样的三角形.而图中这样的大长方形有2个，所以共有三角形5×3×2×2=60(个).
(2)如图②,类似
(1),长方形如果竖起来，去掉与
(1)重复的三角形，共有三角形2×2×2×3=24(个).
其次，由面积公式S=$\frac{1}{2}$×4×1=2可知:
　　　　
(3)以图③中的粗线段为底边时，顶点可以选4个黑点中的任意一个，此时，有4个这样的三角形，将底边向下移动一个单位，又有4个这样的三角形……此图中共有4×3个这样的三角形.同理，底边在大长方形的最右边的竖边上,又有4×3个三角形,所以共有三角形4×3×2=24(个).
(4)同
(3)类似，以图④中的粗线为底，去掉与
(3)重复的，顶点可以选3个黑点中的任意一个，有3个这样的三角形，将底边往下移一个单位，又有3个这样的三角形……此图中共有3×3个这样的三角形.同理，如果将大长方形的最下面的边作为底，有3个三角形……所以共有三角形3×3×2=18(个).
最后，还有边不在小正方形的边上的三角形.
　　　　
(5)如图⑤的长方体中，有4个面积为2的三角形，而3×4的正方形中竖着有3个这样的长方形，横着有4个,所以三角形的个数共有(3+4)×4=28(个).故4×3的正方形中，面积为2的三角形共有60+24+24+18+28=154(个).

11. 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接.
（1）若平面上恰好有 9 个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？
（2）若平面上恰好有 9 个点，且点数分成 2、3、4 三组，那么平面上有多少条线段？
（3）若平面上共有 192 条线段，那么平面上至少有多少个点？
（“希望杯”邀请赛试题）

答案： 11.
(1)可以连接3×3+3×3+3×3=27条线段,
(2)可以连出2×3+2×4+3×4=26条线段.
(3)设平面上三组点数分别为m,n,p,S=m+n+p,则可以连出mn+mp+np=192条线段.
因S²=(m+n+p)²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np≥mn+mp+np+2mn+2mp+2np=3(mn+mp+np)=3×192=576=24²,故S≥24,S的最小值是24.事实上，当这24个点平分为三组，每组8个点，恰可以连出8×8+8×8+8×8=192条线段.因此，平面上至少有24个点.

12. 【问题提出】
用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律.
【问题探究】
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法.
探究一：
用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$ 的矩形框架($m,n$ 是正整数)，需要木棒的条数.
如图①，当 $m = 1,n = 1$ 时，横放木棒为 $1×(1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(1 + 1)×1$ 条，共需 4 条；
如图②，当 $m = 2,n = 1$ 时，横放木棒为 $2×(1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(2 + 1)×1$ 条，共需 7 条；
如图③，当 $m = 2,n = 2$ 时，横放木棒为 $2×(2 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(2 + 1)×2$ 条，共需 12 条；
如图④，当 $m = 3,n = 1$ 时，横放木棒为 $3×(1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(3 + 1)×1$ 条，共需 10 条；
如图⑤，当 $m = 3,n = 2$ 时，横放木棒为 $3×(2 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(3 + 1)×2$ 条，共需 17 条.
问题(一)当 $m = 4,n = 2$ 时，共需木棒22条.
问题(二)当矩形框架横长是 $m$，纵长是 $n$ 时，横放的木棒为m(n+1)条，纵放的木棒为n(m+1)条.
探究二：
用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$ 的长方体框架($m,n,s$ 是正整数)，需要木棒的条数.
如图⑥，当 $m = 3,n = 2,s = 1$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3×(2 + 1) + (3 + 1)×2]×(1 + 1) = 34$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1)×(2 + 1)×1 = 12$ 条，共需 46 条；
如图⑦，当 $m = 3,n = 2,s = 2$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3×(2 + 1) + (3 + 1)×2]×(2 + 1) = 51$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1)×(2 + 1)×2 = 24$ 条，共需 75 条；
如图⑧，当 $m = 3,n = 2,s = 3$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3×(2 + 1) + (3 + 1)×2]×(3 + 1) = 68$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1)×(2 + 1)×3 = 36$ 条，共需 104 条.
问题(三)当长方体框架的横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$ 时，横放与纵放木棒条数之和为[m(n+1)+n(m+1)](s+1)条，竖放木棒条数为(m+1)(n+1)s条.
【实际应用】
现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是 2，高是 4 的长方体框架，总共使用了 170 条木棒，则这个长方体框架的横长是4.
【拓展应用】
若按照如图方式搭建一个底面边长是 10，高是 5 的正三棱柱框架，需要木棒1320条.
(山东省青岛市中考题)

答案： 12.从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题.
问题探究
问题(一)　22　当m=4,n=2时,横放木棒为4×(2+1)条，纵放木棒为(4+1)×2条，即共需22条.
问题(二)　m(n+1),n(m+1)
问题(三)　[m(n+1)+n(m+1)](s+1),(m+1)(n+1)s
实际应用
4　将n=2,s=4代入[m(n+1)+n(m+1)](s+1)+(m+1)(n+1)s=170,
解得m=4.
拓展应用
1320　因为等边三角形每个方向有1+2+...+10=$\frac{(1+10)×10}{2}$=55条，所以每层有55×3=165条;因为共6层，所以横放木棒条数为165×6=990条;因为高是5,所以每个点下面有5条木棒;又因为每层共有1+2+…+11=66个点，所以竖放的木棒条数为66×5=330条;所以共需要木棒1320条.