《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
平面上有 5 条直线，其中任意 2 条都不平行，那么在这 5 条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过$36^{\circ}$，请说明理由。
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
分析
平面上符合条件的直线相交所成的角是分散的，也难以发现它们的关系。把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的。这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多。
解
在平面上任取一点$O$，过$O$点作已知的 5 条直线的平行线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$，$l_{4}$，$l_{5}$（如图以 3 条直线为例，说明作平行线的方法）。

将点$O$为中心的周角分为 10 个彼此相邻的小角，它们的和为$360^{\circ}$，故至少有一个小角不超过$36^{\circ}$。

答案： 解：
在平面上任取一点$O$，过$O$点作与已知5条直线平行的5条直线$l_1, l_2, l_3, l_4, l_5$，这些直线将以点$O$为中心的周角划分为10个相邻的小角，设这10个小角分别为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_{10}$。
由于这10个小角的和为$360°$，根据平均值原理，至少存在一个小角$\alpha_i \leq \frac{360°}{10} = 36°$。
由于同位角相等，原5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过$36°$。

例 5
如图①，$A$，$B$两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥$MN$，桥造在何处才能使从$A$到$B$的路径$AMNB$最短？（假定河的两岸基本是平行的，桥要与河垂直。）
分析与解
如图②，因为桥$MN$的长度是固定不变的，所以路径$AMNB$的长短与$MN$无关，而且$MN$的方向也是不变的，因此想到先把这个不变的因素平移到一端，即把桥$MN$平移到$AC$，如图②。现在考虑点$C$到点$B$的最短距离，根据两点之间线段最短，所以只需连接$CB$，从而找到造桥的位置，交点$N$即为造桥的位置。
下面来说明此路径最短：如图②，根据$AC$平行且等于$MN$可知，$AM$平行且等于$CN$，即路径$AMNB$等于路径$ACNB$，而$AC = MN$为定值，又因为两点之间，线段最短，所以路径$ACNB$为连接$A$地与$B$地的最短路径，因此路径$AMNB$为连接$A$地与$B$地的最短路径。
【拓展】

如图③，在上述条件不变的情况下，若有两条河，又应怎样选址？类比迁移，下面选址方案供参考：
如图④，将点$A$向河 1 垂直的方向平移 1 个河 1 的宽度，得到点$A_{1}$，再将点$B$向河 2 垂直的方向平移 1 个河 2 的宽度得到点$B_{1}$，连接$A_{1}B_{1}$与河流 1、河流 2 分别相交于点$P$，$M$，分别作桥$MN$，$PQ$。此时将所有的路径均转化到$A_{1}B_{1}$，所以路径$AQPMNB$最短。

答案： 作法：
1. 过点A作河岸的垂线，在垂线上截取AC，使AC的长度等于河的宽度（即沿垂直河岸方向平移点A至点C，平移距离为河宽）；
2. 连接CB，交河的另一岸于点N；
3. 过点N作河岸的垂线，交河的此岸于点M；
4. 则MN即为所求造桥位置。
结论：
此时路径AMNB最短。