《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
如图①，已知线段$AB$的两个端点的坐标分别为$A(a,1)$，$B(-2,b)$，且$a$，$b$满足$\sqrt{a + 5} + \sqrt{b - 3} = 0$。
(1)求$A$，$B$两点的坐标；
(2)如图①，点$M(0,t)$为$y$轴负半轴上一点，若$S_{\triangle ABM} = 8$，求$t$的值；
(3)如图②，将线段$BA$平移得到线段$OD$，其中点$B$对应点为$O$点，点$A$对应点$D$，点$P(m,-1)$是线段$OD$上一点，求$m$的值。
 

答案：
(1)
∵√(a+5)≥0，√(b-3)≥0，且√(a+5)+√(b-3)=0，
∴a+5=0，b-3=0，解得a=-5，b=3，
∴A(-5,1)，B(-2,3)。
(2)过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，则AE=5，BF=2，E(0,1)，F(0,3)。
∵S△ABM=8，M(0,t)(t＜0)，
∴S△ABM + S△MBF = S△AME + S四边形AEFB，即8 + 1/2×2×(3 - t)=1/2×5×(1 - t) + 1/2×(5 + 2)×(3 - 1)，化简得8 + (3 - t)= (5/2)(1 - t) + 7，解得t=-1。
(3)
∵线段BA平移得OD，B(-2,3)对应O(0,0)，
∴平移向量为(2,-3)，
∴A(-5,1)对应D(-5+2,1-3)=(-3,-2)。过D作DH⊥y轴于H，过P(m,-1)作PG⊥y轴于G，则DH=3，OH=2，PG=-m(m＜0)，OG=1。
∵S△ODH=S△OPG + S梯形PGHD，
∴1/2×3×2=1/2×(-m)×1 + 1/2×(-m + 3)×1，解得m=-3/2。