《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

12. 【猜想发现】
$5 + 5 = 2\sqrt{5×5}=10$；$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2\sqrt{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$；$0.4 + 0.4 = 2\sqrt{0.4×0.4}=0.8$；
$\frac{1}{5}+5＞2\sqrt{\frac{1}{5}×5}=2$；$0.2 + 3.2＞2\sqrt{0.2×3.2}=1.6$；$\frac{1}{2}+\frac{1}{8}＞2\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$。
猜想：如果$a＞0,b＞0$，那么存在$a + b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时等号成立）。
【猜想证明】
$\because(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq0$，
$\therefore$①当且仅当$\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即$a = b$时，$a - 2\sqrt{ab}+b = 0$，
$\therefore a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq0$，即$a\neq b$时，$a - 2\sqrt{ab}+b＞0$，$\therefore a + b＞2\sqrt{ab}$。
综合上述可得：若$a＞0,b＞0$，则$a + b\geq2\sqrt{ab}$成立（当且仅当$a = b$时等号成立）。
【猜想运用】
对于“代数等式”$y = x + \frac{1}{x}(x＞0)$，当$x$取何值时，“代数等式”$y$的值最小？最小值是多少？
【变式探究】
对于“代数等式”$y = \frac{1}{x - 3}+x(x＞3)$，当$x$取何值时，“代数等式”$y$的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】
疫情期间，为了解决疑似感染人员的临时隔离问题，在高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用$63$米长的钢丝网围成了$9$间相同的长方形隔离房，如图。设每间隔离房的面积为$S$（米$^2$）。问：每间隔离房的长、宽分别为多少时，每间隔离房的面积$S$最大？最大面积是多少？

（湖北省鄂州市中考题）

答案： 12.猜想运用 当$x=\frac{1}{x}$,即$x=1$时,$y$有最小值2.
变式探究 $\because y=\frac{1}{x-3}+x-3+3\geq2\sqrt{\frac{1}{x-3}×(x-3)}+3=5$,
$\therefore$当$\frac{1}{x-3}=x-3$,即$x=4$时,$y$有最小值5.
拓展应用 设每间隔离房与墙平行的边的长度为$x$
米,与墙垂直的边的长度为$y$米,依题意得$9x+12y=63$,即$3x+4y=21$.
$\because3x＞0,4y＞0$,
$\therefore3x+4y\geq2\sqrt{3x·4y}$,即$21\geq2\sqrt{3x·4y}$,整理得
$xy\leq\frac{147}{16}$,即$S\leq\frac{147}{16}$,
$\therefore$当$3x=4y$时,$S_{\max}=\frac{147}{16}$.此时$x=\frac{7}{2},y=\frac{21}{8}$,
即每间隔离房的长为$\frac{7}{2}$米、宽为$\frac{21}{8}$米时,面积最大,
最大面积为$\frac{147}{16}$平方米.