《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
求最小的正整数 $ n $，使得存在 $ n $ 个不同的正整数 $ s_1,s_2,·s,s_n $ 满足 $ (1 - \frac{1}{s_1})(1 - \frac{1}{s_2})·s(1 - \frac{1}{s_n}) = \frac{51}{2010} $.
(国际数学奥林匹克试题)
 

答案： 答题卡作答：
首先，设 $s_1 ＜ s_2 ＜ \ldots ＜ s_n$，则有 $s_i \geq i + 1$（对每个 $i = 1, 2, \ldots, n$）。
根据题目，有$\left(1 - \frac{1}{s_1}\right)\left(1 - \frac{1}{s_2}\right)·s\left(1 - \frac{1}{s_n}\right) = \frac{51}{2010}$。
利用不等式 $s_i \geq i + 1$，进行放缩，得到$\frac{51}{2010} \geq \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)·s\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × ·s × \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$。
从上式可以得出$n + 1 \geq \frac{2010}{51} = \frac{670}{17} ＞ 39$，即 $n \geq 39$。
接下来，需要验证 $n = 39$ 是否可行。
取 39 个不同的正整数：$2, 3, \ldots, 33, 35, 36, \ldots, 40, 67$，这些数满足：
$\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)·s\left(1 - \frac{1}{67}\right) = \frac{51}{2010}$
因此，最小的正整数 $n$ 是 39。

1. 正整数 $ a,b $ 满足等式 $ \frac{a}{3} + \frac{b}{5} = \frac{13}{15} $，那么 $ a = $2，$ b = $1.
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 1.2 1 $5a + 3b = 13$，由$b \geqslant 1$得$a \leqslant 2$.

2. 已知分数 $ s = \frac{1}{\frac{1}{1980} + \frac{1}{1981} + \frac{1}{1982} + ·s + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000}} $，那么 $ s $ 的整数部分是95.
(山东省竞赛题)

答案： 2.95 $s ＞ \frac{1}{21 × \frac{1}{1980}} = \frac{1980}{21} = 94\frac{2}{7}$，$s ＜ \frac{1}{21 × \frac{1}{2000}} = \frac{2000}{21} = 95\frac{5}{21}$.