《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
为什么说有理数是可数的？
 

答案：
正整数虽是无限的，但是可一一排出，这种特征叫“可数性”。有理数也可以有序地排成一队。因整数是分母为 1 的假分数，故把所有的正有理数按照分母的大小排出（重复的数只保留一个）：
$ \frac{1}{1} $ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{1}{3} $ $ \frac{1}{4} $ $ \frac{1}{5} $ $ \frac{1}{6} $ $ ·s $
$ \frac{2}{1} $ $ \frac{2}{2} $ $ \frac{2}{3} $ $ \frac{2}{4} $ $ \frac{2}{5} $ $ \frac{2}{6} $ $ ·s $
$ \frac{3}{1} $ $ \frac{3}{2} $ $ \frac{3}{3} $ $ \frac{3}{4} $ $ \frac{3}{5} $ $ \frac{3}{6} $ $ ·s $
$ \frac{4}{1} $ $ \frac{4}{2} $ $ \frac{4}{3} $ $ \frac{4}{4} $ $ \frac{4}{5} $ $ \frac{4}{6} $ $ ·s $
$ \frac{5}{1} $ $ \frac{5}{2} $ $ \frac{5}{3} $ $ \frac{5}{4} $ $ \frac{5}{5} $ $ \frac{5}{6} $ $ ·s $
$ \frac{6}{1} $ $ \frac{6}{2} $ $ \frac{6}{3} $ $ \frac{6}{4} $ $ \frac{6}{5} $ $ \frac{6}{6} $ $ ·s $
$ ·s ·s $
按箭头顺序，将上表中数重排。

$ \frac{1}{1} \rightarrow \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{3} \rightarrow \frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{5} \rightarrow \frac{1}{6} ·s $
$ \frac{2}{1} \rightarrow \frac{2}{3} \rightarrow \frac{2}{5} \rightarrow \frac{2}{7} \rightarrow \frac{2}{9} \rightarrow \frac{2}{11} ·s $
$ \frac{3}{1} \rightarrow \frac{3}{2} \rightarrow \frac{3}{4} \rightarrow \frac{3}{5} \rightarrow \frac{3}{7} \rightarrow \frac{3}{8} ·s $
$ \frac{4}{1} \rightarrow \frac{4}{3} \rightarrow \frac{4}{5} \rightarrow \frac{4}{7} \rightarrow \frac{4}{9} \rightarrow \frac{4}{11} ·s $
$ \frac{5}{1} \rightarrow \frac{5}{2} \rightarrow \frac{5}{3} \rightarrow \frac{5}{4} \rightarrow \frac{5}{6} \rightarrow \frac{5}{7} ·s $
$ \frac{6}{1} \rightarrow \frac{6}{5} \rightarrow \frac{6}{7} \rightarrow \frac{6}{11} \rightarrow \frac{6}{13} \rightarrow \frac{6}{17} ·s $
$ ·s ·s $
即 $ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \frac{5}{1}, \frac{4}{3}, \frac{3}{4} ·s $
$ \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow $
$ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11\ 12\ 13 ·s $
进一步，全体有理数可以这样排序：
$ 0, \frac{1}{1}, -\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{2}{1}, -\frac{2}{1}, \frac{3}{1}, -\frac{3}{1}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} ·s $